第七講  數(shù)列求和

★★★高考在考什么

【考題回放】

1.設(shè)，則等于（ D ）

   A.    B.     C.     D.

2. 等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1,a₃+a₅=14，其前n項(xiàng)和S_n=100,則n=（　B�。�

A．9      B．10       C．11       D．12

3.）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（　B�。�

A．1      B．      C．      D．

4.設(shè)S_n是等差數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和，若＝，則＝

A.           B.                  C.          D.

解析:由等差數(shù)列的求和公式可得且

所以,故選A

5.已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，．設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于（　�。�

A．55　　　　  B．70　　　　　C．85　　　　　D．100

解：數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，．設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于=，，∴

=，選C.

6.對正整數(shù)n，設(shè)曲線在x＝2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是　　

解：，曲線y=xⁿ(1-x)在x=2處的切線的斜率為k=n2^n-1-(n+1)2ⁿ

切點(diǎn)為（2，-2ⁿ）,所以切線方程為y+2ⁿ=k(x-2),令x=0得 a_n=(n+1)2ⁿ,令b_n=.數(shù)列的前n項(xiàng)和為2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2

　★★★高考要考什么

1．直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。

    公比含字母時(shí)一定要討論

(理)無窮遞縮等比數(shù)列時(shí)，

2．錯(cuò)位相減法求和：如：

3．分組求和：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。

4．合并求和：如：求的和。

5．裂項(xiàng)相消法求和：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。

常見拆項(xiàng)：               

6．公式法求和       

7．倒序相加法求和

★     ★★ 突 破 重 難 點(diǎn)

【范例1】設(shè)數(shù)列滿足，．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；  （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

解 (I)

驗(yàn)證時(shí)也滿足上式，

(II) ，   ①

  ②   

   ①-② ：  ，

【變式】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（Ⅰ）、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）、設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；

點(diǎn)評(píng)：本小題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù)f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以＝3n²－2n.

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.

【范例2】已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且．

（I）求，，，；   （II）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）(理)記，，

求證：．

（I）解：方程的兩個(gè)根為，，

當(dāng)時(shí)，，所以；

當(dāng)時(shí)，，，所以；

當(dāng)時(shí)，，，所以時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，，所以．

（II）解：．

（III）證明：，

所以，．

當(dāng)時(shí)，，

，

同時(shí)，

．

綜上，當(dāng)時(shí)，．

【變式】在數(shù)列中，，，．

（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）證明不等式，對任意皆成立．

解、（Ⅰ）證明：由題設(shè)，得，．

又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，且公比為的等比數(shù)列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

所以數(shù)列的前項(xiàng)和．

（Ⅲ）證明：對任意的，

．

所以不等式，對任意皆成立．

【點(diǎn)睛】本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力．

【范例3】已知a₁=2，點(diǎn)(a_n,a_n+1)在函數(shù)f(x)=x²+2x的圖象上，其中=1，2，3，…

（1）       證明數(shù)列｛lg(1+a_n)｝是等比數(shù)列；

（2）       設(shè)T_n=(1+a₁) (1+a₂) …(1+a_n)，求T_n及數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)；

（3）       記b_n=，求｛b_n｝數(shù)列的前項(xiàng)和S_n，并證明S_n+=1.

解：（Ⅰ）由已知，       ，兩邊取對數(shù)得

        ，即

是公比為2的等比數(shù)列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知   （*）

                =

        由（*）式得

（Ⅲ）   

又

又.

【變式】已知數(shù)列滿足，并且（為非零參數(shù)，）．

（Ⅰ）若成等比數(shù)列，求參數(shù)的值；

（Ⅱ）設(shè)，常數(shù)且．證明．

　　解：（I）由已知且

　　　若、、成等比數(shù)列，則即而解得

　�。↖I）證明：設(shè)由已知，數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，故 則　

　　因此，對任意

　　當(dāng)且時(shí)，

所以