第六講 求通項公式

★★★高考在考什么

【考題回放】

1. 已知數(shù)列{ a_n }的前n項和為S_n，且S_n=2(a_n -1)，則a₂等于(  A  )

A. 4        B. 2         C. 1        D. -2

2．在數(shù)列中，，且，則  35 ．

3．在數(shù)列｛a_n｝中，若a₁=1,a_n+1=2a_n+3 (n≥1),則該數(shù)列的通項a_n=__2 ⁿ⁺¹-3___.

4．對正整數(shù)n，設曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為，則數(shù)列的前n項和的公式是　　2ⁿ⁺¹-2    .

5.已知數(shù)列{}的前項和，則其通項        ；若它的第項滿足，則       . 2n-10  ;  8

6.已知數(shù)列對于任意，有，若，則           ．4

7. 已知正項數(shù)列{a_n}，其前n項和S_n滿足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁, a₃, a₁₅成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項a_n .

解析  ∵10S_n=a_n²+5a_n+6，     ①    ∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3．

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)， ②

   由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0 

∵a_n+a_n－1>0  ， ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)．

當a₁=3時，a₃=13，a₁₅=73． a₁， a₃，a₁₅不成等比數(shù)列∴a₁≠3;

當a₁=2時， a₃=12， a₁₅=72， 有 a₃²=a₁a₁₅ ， ∴a₁=2， ∴a_n=5n－3．

★★★高考要考什么

一、 根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項和求通項Sn= a₁+ a₂+ a₃+ ……+ a_n   

已知數(shù)列前n項和Sn,相當于知道了n≥2時候a_n,但不可忽視n=1.

二、由遞推關系求數(shù)列的通項

1. 利用迭加a_n-a_n-1=f(n)、迭乘a_n/a_n-1=f(n)、迭代。

2.一階遞推,我們通常將其化為看成{b_n}的等比數(shù)列。

3.利用換元思想（變形為前一項與后一項成等差等比關系，直接寫出新數(shù)列通項化簡得a_n）。

4.對含a_n與S_n的題，進行熟練轉(zhuǎn)化為同一種解題，注意化簡時n的范圍。

★     ★★ 突 破 重 難 點

【范例1】記

（Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和

解析（I）

整理得

（Ⅱ）由

所以

．

【變式】數(shù)列中，，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列．（I）求的值；（II）求的通項公式．

解：（I），，，

因為，，成等比數(shù)列，所以，解得或．

當時，，不符合題意舍去，故．

（II）當時，由于

，

，

…………

，

所以．

又，，故．當時，上式也成立，

所以

【范例2】設數(shù)列的首項．

（1）求的通項公式；（2）設，證明，其中為正整數(shù)．

解：（1）由  整理得  ．

又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，得

（2）方法一：    由（1）可知，故．則

又由（1）知且，故，因此  為正整數(shù)．

方法二：由（1）可知，

因為，所以  ．

由可得，即  

兩邊開平方得    ．即 為正整數(shù)

【變式】已知數(shù)列中，對一切自然數(shù)，都有且．

求證：(1)；      (2)若表示數(shù)列的前項之和，則．

解析： (1)由已知得，

又因為，所以, 因此，即．

(2) 由結論(1)可知  ，即，

于是，即．

【范例3】由坐標原點O向曲線引切線，切于O以外的點P₁，再由P₁引此曲線的切線，切于P₁以外的點P₂），如此進行下去，得到點列{ P_n}}.

求：（Ⅰ）的關系式；

   （Ⅱ）數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）（理）當時，的極限位置的坐

解析 （Ⅰ）由題得 

過點P₁（的切線為

過原點

又過點P_n（的

因為過點P_n-1（  

整理得

（Ⅱ）由（I）得

所以數(shù)列{x_n-a}是以公比為的等比數(shù)列

（Ⅲ）

的極限位置為（

【點睛】注意曲線的切線方程的應用，從而得出遞推式．求數(shù)列的通項公式是數(shù)列的基本問題，一般有三種類型：（1）已知數(shù)列是等差或等比數(shù)列，求通項，破解方法：公式法或待定系數(shù)法；（2）已知S_n，求通項，破解方法：利用S_n-S_n-1= a_n，但要注意分類討論，本例的求解中檢驗必不可少，值得重視；（3）已知數(shù)列的遞推公式，求通項，破解方法：猜想證明法或構造法。

【變式】已知函數(shù)f (x)=，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項x＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f (x)在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x,f (x)）兩點的直線平行（如圖）.

求證：當n時，(Ⅰ)  x （Ⅱ）.

解、 (I ) 證明：因為

所以曲線在處的切線斜率

即和兩點的直線斜率是 以.

（II）因為函數(shù)，當時單調(diào)遞增，

而，

所以，即   因此

又因為  令  則

因為    所以

因此  故