第四講  導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí)（  B  ）

A．          B．

C．          D．

2．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（ A  ）

Ａ．      Ｂ．      Ｃ．      Ｄ．

3．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為A

   A．                      B．

C．                      D．

4．函數(shù)，已知在時(shí)取得極值，則=（B）

A.2             B.3             C.4             D.5

5．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則＿＿．32

6．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則＿＿＿＿．3

7．設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)               

(Ⅰ)求f(x)的極值.

(Ⅱ)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí),曲線y= f(x)軸僅有一個(gè)交點(diǎn).

解：(I)=3－2－1

若=0，則==－，=1

當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：

(－∞，－)

－

(－，1)

1

(1，+∞)

+

0

－

0

+

極大值

極小值

∴f(x)的極大值是，極小值是

(II)函數(shù)

由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有f(x)>0，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有f(x)<0，所以曲線y= f(x)與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)

結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知：

當(dāng)f(x)的極大值<0，即時(shí)，它的極小值也小于0，因此曲線= f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在(1，+∞)上。

當(dāng)f(x)的極小值－1>0即(1，+∞)時(shí)，它的極大值也大于0，因此曲線y= f(x)與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在(－∞，－)上。

∴當(dāng)∪(1，+∞)時(shí)，曲線y= f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)

★★★高考要考什么

1．  導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

（1）       函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；

（2）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是物體的運(yùn)動(dòng)方程在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度；

2．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：1）、確定f(x)的定義域，2）、求導(dǎo)數(shù)y′，3）、令y′>0(y′<0),解出相應(yīng)的x的范圍。當(dāng)y′>0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)y′<0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)

3．求極值常按如下步驟：① 確定函數(shù)的定義域；② 求導(dǎo)數(shù)；③ 求方程=0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，這些根或點(diǎn)也稱為可能極值點(diǎn)；④通過列表法, 檢查在可能極值點(diǎn)的左右兩側(cè)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)。

4．設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步驟如下：(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值，(2)將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。

5．最值（或極值）點(diǎn)必在下列各種點(diǎn)之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)、端點(diǎn)。

★★★ 突 破 重 難 點(diǎn)

【范例1】已知函數(shù)在處取得極值.

  （1）討論和是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；

（2）過點(diǎn)作曲線y= f(x)的切線，求此切線方程.

（1）解：，依題意，，即

  解得. ∴.

  令，得.

若，則，故

f(x)在上是增函數(shù)，

f(x)在上是增函數(shù).

若，則，故f(x)在上是減函數(shù).

所以，是極大值；是極小值.

（2）解：曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上.

設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足.

因，故切線的方程為

注意到點(diǎn)A（0，16）在切線上，有

  化簡(jiǎn)得，解得.

所以，切點(diǎn)為，切線方程為.

【點(diǎn)晴】過已知點(diǎn)求切線，當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵.

【范例2】(安徽文)設(shè)函數(shù)f（x）=-cos²x-4tsincos+4t²+t²-3t+4,x∈R,其中≤1，將f(x)的最小值記為g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表達(dá)式；

(Ⅱ)詩論g(t)在區(qū)間（-1,1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

解：（I）我們有

         ．

由于，，故當(dāng)時(shí)，達(dá)到其最小值，即

．

 （II）我們有．

列表如下：

極大值

極小值

由此可見，在區(qū)間和單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減小，極小值為，極大值為．

【點(diǎn)晴】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的值域，多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)分析解決多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值與最值等問題的綜合能力．

【范例2】已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)．（I）求的最大值；（II）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式．

解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，

設(shè)兩實(shí)根為（），則，且．于是

，，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是

，即，

因?yàn)榍芯�在點(diǎn)處空過的圖象，

所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則

不是的極值點(diǎn)．

而，且

．

若，則和都是的極值點(diǎn)．

所以，即，又由，得，故．

解法二：同解法一得

．

因?yàn)榍芯�在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，于是存在（）．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則，

所以，又由，得，故．

變式：設(shè)函數(shù)在及時(shí)取得極值．

（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若對(duì)于任意的，都有成立，求c的取值范圍．

解：（Ⅰ），

因?yàn)楹瘮?shù)在及取得極值，則有，．

即

解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

所以，當(dāng)時(shí)，取得極大值，又，．

則當(dāng)時(shí)，的最大值為．

因?yàn)閷?duì)于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范圍為．