第四講  導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（2）

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí)（  B  ）

A．          B．

C．          D．

2．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（  D  ）

Ａ．        Ｂ．    Ｃ．    Ｄ．

3．設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，，則是的（　B�。�

Ａ．充分不必要條件              Ｂ．必要不充分條件

Ｃ．充分必要條件                Ｄ．既不充分也不必要條件

4．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫(huà)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（  D  ）

5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是＿＿＿＿．

6．若直線y=x是曲線y=x³-3x²+ax的切線，則a=            ；

★★★高考要考什么

1．  導(dǎo)數(shù)的定義：

2．  導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

（1）       函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；

（2）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是物體的運(yùn)動(dòng)方程在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度；

3．要熟記求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等。尤其注意：和。

4．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：1）、確定f(x)的定義域，2）、求導(dǎo)數(shù)y′，3）、令y′>0(y′<0),解出相應(yīng)的x的范圍。當(dāng)y′>0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)y′<0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)

5．求極值常按如下步驟：① 確定函數(shù)的定義域；② 求導(dǎo)數(shù)；③ 求方程=0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，這些根或點(diǎn)也稱為可能極值點(diǎn)；④通過(guò)列表法, 檢查在可能極值點(diǎn)的左右兩側(cè)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)。

6．設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a,b]上的最大（�。┲档牟襟E如下：(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值，(2)將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。

7．最值（或極值）點(diǎn)必在下列各種點(diǎn)之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)、端點(diǎn)。

★★★ 突 破 重 難 點(diǎn)

【范例1】已知函數(shù)在處取得極值.

  （1）討論和是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；

（2）過(guò)點(diǎn)作曲線y= f(x)的切線，求此切線方程.

（1）解：，依題意，，即

  解得. ∴.

  令，得.

若，則，故

f(x)在上是增函數(shù)，

f(x)在上是增函數(shù).

若，則，故f(x)在上是減函數(shù).

所以，是極大值；是極小值.

（2）解：曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上.

設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足.

因，故切線的方程為

注意到點(diǎn)A（0，16）在切線上，有

  化簡(jiǎn)得，解得.

所以，切點(diǎn)為，切線方程為.

【點(diǎn)晴】過(guò)已知點(diǎn)求切線，當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵.

【范例2】（安徽理）設(shè)a≥0，f (x)=x－1－ln² x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln²x－2a ln x＋1.

解：（Ⅰ）根據(jù)求導(dǎo)法則有，

故，

于是，

列表如下：

2

0

極小值

故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值．

（Ⅱ）證明：由知，的極小值．

于是由上表知，對(duì)一切，恒有．

從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．

所以當(dāng)時(shí)，，即．

故當(dāng)時(shí)，恒有．

【點(diǎn)晴】本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和證明不等式的方法，考查綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．

【范例2】已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．（I）用表示，并求的最大值；

（II）求證：（）．

解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．

，，由題意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，則．于是

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，．

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

于是在的最大值為．

（Ⅱ）設(shè)，

則．

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

于是函數(shù)在上的最小值是．

故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，．

【點(diǎn)晴】本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．

變式：已知函數(shù).

   （1）求函數(shù)y= f(x)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

   （2）假設(shè)對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：（1）；

（2）

令：

所以都是增函數(shù).因此當(dāng)時(shí)，的最大值為的最小值為而不等式②成立當(dāng)且僅當(dāng)即，于是得  

解法二：由得

設(shè)

于是原不等式對(duì)于恒成立等價(jià)于 ③…7分

由，注意到

故有，從而可均在

上單調(diào)遞增，因此不等式③成立當(dāng)且僅當(dāng)

即

【點(diǎn)晴】求參數(shù)的取值范圍，凡涉及函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題時(shí)，用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決較簡(jiǎn)單.