2009年盛興中英文學(xué)校高三模擬考試

     理科數(shù)學(xué)    2009年4月2日

一 選擇題（每小題5分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（　�。�

Ａ．                Ｂ．                Ｃ．                  Ｄ．

2．“”是“”的（　　）

Ａ．充分而不必要條件              Ｂ．必要而不充分條件

Ｃ．充要條件                            Ｄ．既不充分也不必要條件

3．.若一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個(gè)棱柱的體積為           

A

 

2

 

 

 

A       B   36        C  24        D 

4．設(shè)是非零向量，若函數(shù)的圖象是一條直線，則必有（  

A．            B．            C．         D．

5對(duì)，記函數(shù)的最小值是

（A）0        （B）        （C）       （D）3

6如圖，和分別是雙曲線

的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（    ）

A．                B．         C．         D．

7．若是互不相同的空間直線，是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是（　�。�

Ａ．若，則              Ｂ．若，則

Ｃ．若，則                            Ｄ．若，則

8．四位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示，盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半．設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為，，，，則它們的大小關(guān)系正確的是（　　）

 

 

 

 

 

Ａ．                Ｂ．               
Ｃ．                Ｄ．

二 填空題（每小題5分，共20分；請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)橫線上）

9．的值為＿＿＿＿＿＿。

10 某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有＿＿＿＿＿種（用數(shù)字作答）。

11．在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是              （寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．

①矩形；②不是矩形的平行四邊形；

③有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；

④每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；⑤每個(gè)面都是直角三角形的四面體．

12.如圖，是一個(gè)人出差從A城出發(fā)到B城去，沿途可能經(jīng)

過的城市的示意圖，通過兩城市所需的時(shí)間標(biāo)在兩城市之間的連線上（單位：小時(shí)），則此人從A城出發(fā)到達(dá)B城所需的最少時(shí)間為         小時(shí)。

 

 

 

 

以下兩個(gè)小題中選做一題，三題都選的只計(jì)算前兩小題的得分

。

13（幾何證明選講選做題）已知圓的半徑為，

從圓外一點(diǎn)引切線和割線，圓心到  

的距離為，，則切線的長(zhǎng)為 

____________．

14.在極坐標(biāo)系中，圓心在且過極點(diǎn)的圓的方程為    

15、已知都是正數(shù)，且則的最小值是      

三 解答題

16如圖，函數(shù)其中()的圖象與軸交于點(diǎn)（0，1）

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）設(shè)是圖象上的最高點(diǎn)，M，N是圖象與軸的交點(diǎn)，求與的夾角。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17．（本小題滿分12分）

在生產(chǎn)過程中，測(cè)得纖維產(chǎn)品的纖度（表示纖維粗細(xì)的一種量）共有100個(gè)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如右表：

（I）在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖；

分組

頻數(shù)

頻率

4

0.04

25

0.25

30

0.30

29

0.29

10

0.10

2

0.02

合計(jì)

100

1.00

（II）估計(jì)纖度落在中的概率及纖度小于的概率是多少？

（III）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

（例如區(qū)間的中點(diǎn)值是）

作為代表．據(jù)此，估計(jì)纖度的期望．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18. 設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx+c（a≠0）為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)（1,f（1））處的切線與直線x－6y－7=0垂直，導(dǎo)函數(shù)f＇（x）的最小值為－12.

（Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在〔－1,3〕上的最大值和最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19  如圖，三棱柱ABC―A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D為AC的中點(diǎn).

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          • 
   
          
    
    
          
    
          　
（Ⅱ）求二面角C1―BD―C的余弦值；
             （Ⅲ）在側(cè)棱AA­1上是否存在點(diǎn)P，使得
          CP⊥面BDC1？并證明你的結(jié)論.
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          20 如圖，矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為點(diǎn)在邊所在直線上．
          （I）求邊所在直線的方程；
          （II）求矩形外接圓的方程；
          （III）若動(dòng)圓過點(diǎn)，且與矩形的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程．
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          21 已知函數(shù)f（x）=x2－4，設(shè)曲線y＝f（x）在點(diǎn)（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點(diǎn)為（xn+1,u）（u,N
+），其中為正實(shí)數(shù).
          （Ⅰ）用xx表示xn+1；
          （Ⅱ）若a1=4，記an=lg，證明數(shù)列｛a1｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式；
          （Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，證明Tn<3.
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          2009年高三第二學(xué)期模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) da an
          一  CAAAC  CDA
          二  9       10         
   11   ①③④⑤    12    48     
                13               14          15     12 
          三解答：
          （16）本題主要考查三角函數(shù)的圖象，已知三角函數(shù)值求角，向量夾角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算能力。 
          滿分14分。 
          解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)（0，1） 
          所以 ,即 
          因?yàn)?sub>所以.
          （Ⅱ）由函數(shù)及其圖象，得
          
 
          所以 從而
                        

           
          17．本小題主要考查頻率分布直方圖、概率、期望等概念和用樣本頻率估計(jì)總體分布的統(tǒng)計(jì)方法，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．
          解：（Ⅰ）
          （Ⅱ）纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為．
          （Ⅲ）總體數(shù)據(jù)的期望約為
          


          
 
          
  
 
          
 
          
  
  
 
          

          

 
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           18 （Ⅰ）∵為奇函數(shù)，
          ∴
          即
          ∴
          ∵的最小值為
          ∴
          又直線的斜率為
          因此，
          ∴，，．
          （Ⅱ）．
          　　　，列表如下：
          極大
          極小
          　　　所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和
          ∵，，
          ∴在上的最大值是，最小值是．
          20解：（I）因?yàn)?sub>邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為．
          又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
          所以邊所在直線的方程為．
          ．
          （II）由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
          因?yàn)榫匦?sub>兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為．
          所以為矩形外接圓的圓心．
          又．
          從而矩形外接圓的方程為．
          （III）因?yàn)閯?dòng)圓過點(diǎn)，所以是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，
          所以，
          即．
          故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支．
          因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)，半焦距．
          所以虛半軸長(zhǎng)．
          從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為
          21（Ⅰ）由題可得．
          所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是：．
          即．
          令，得．
          即．
          顯然，∴．
          （Ⅱ）由，知，同理．
          　　　故．
          從而，即．所以，數(shù)列成等比數(shù)列．
          故．
          即．
          從而
          所以
          （Ⅲ）由（Ⅱ）知，
          ∴
          ∴
          當(dāng)時(shí)，顯然．
          當(dāng)時(shí)，
          ∴
          ．
          　　　綜上，． 
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          
				
	
          
		
          


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