本章知識(shí)主要分為集合、簡(jiǎn)單不等式的解法（集合化簡(jiǎn)）、簡(jiǎn)易邏輯三部分：

（一）   集合

1.     基本概念：集合、元素；有限集、無(wú)限集；空集、全集；符號(hào)的使用.

2.     集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無(wú)序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為；

②空集是任何集合的子集，記為；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果，同時(shí)，那么A = B.

如果.

[注]：①Z= {整數(shù)}（√）   Z ={全體整數(shù)} （×）

②已知集合S 中A的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A=，則C_sA= {0}）

③ 空集的補(bǔ)集是全集.           

④若集合A=集合B，則C_BA = ， C_AB  =     C_S（C_AB）= D     （ 注 ：C_AB  = ）.

3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的點(diǎn)集.   

例：   解的集合{(2，1)}.

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1}  B={y|y =x²+1}  則A∩B =）

4. ①n個(gè)元素的子集有2ⁿ個(gè).  ②n個(gè)元素的真子集有2ⁿ －1個(gè).   ③n個(gè)元素的非空真子集有2ⁿ－2個(gè).

5. ⑴①一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真. 否命題逆命題.

②一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真. 原命題逆否命題.

例：①若應(yīng)是真命題.

解：逆否：a = 2且 b = 3，則a+b = 5，成立，所以此命題為真.

②     .

解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.

,故是的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.     例：若.  

4.     集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

5.     主要性質(zhì)和運(yùn)算律

（1）       包含關(guān)系：

（2）       等價(jià)關(guān)系：

（3）       集合的運(yùn)算律：

交換律：      

結(jié)合律:      

分配律:.

0-1律：

等冪律：

求補(bǔ)律：A∩ð_UA=φ  A∪ð_UA=U ð_UU=φ ð_Uφ=U  ð_UU(ð_UA)=A

反演律：ð_U(A∩B)= (ð_UA)∪(ð_UB)   ð_U(A∪B)= (ð_UA)∩(ð_UB)

6.     有限集的元素個(gè)數(shù)

定義：有限集A的元素的個(gè)數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card( A)規(guī)定 card(φ) =0.

基本公式：

(3) card(ð_UA)= card(U)- card(A)

 (二)含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

  1.整式不等式的解法

根軸法（零點(diǎn)分段法）

①將不等式化為a₀(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_m)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便)②求根，并在數(shù)軸上表示出來(lái)；

③由右上方穿線，經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；

④若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

     （自右向左正負(fù)相間）

則不等式的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)確定.

特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax²+box>0(a>0)解的討論.

   二次函數(shù)

（）的圖象

一元二次方程

有兩相異實(shí)根

有兩相等實(shí)根

     無(wú)實(shí)根

        R

2.分式不等式的解法

（1）標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，

（2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）

3.含絕對(duì)值不等式的解法

（1）公式法：,與型的不等式的解法.

（2）定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論.

（3）幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)

（1）根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

（2）根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

（三）簡(jiǎn)易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡(jiǎn)單命題；由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：p或q(記作“p∨q” )；p且q(記作“p∧q” )；非p(記作“┑q” ) 。

3、“或”、  “且”、  “非”的真值判斷

（1）“非p”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反；

（2）“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假；

（3）“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真．

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q；  逆命題：若q則p；

否命題：若┑P則┑q；逆否命題：若┑q則┑p。

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

 (2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

 (3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題．

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題逆否命題)

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知pq那么我們說(shuō)，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若pq且qp,則稱p是q的充要條件，記為p⇔q.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出(與已知、公理、定理…)矛盾，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章-函數(shù)

考試內(nèi)容：映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性．反函數(shù)．互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系．
指數(shù)概念的擴(kuò)充．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．指數(shù)函數(shù)．對(duì)數(shù)．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．對(duì)數(shù)函數(shù)．
函數(shù)的應(yīng)用．
考試要求：
（1）了解映射的概念，理解函數(shù)的概念．
（2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法．
（3）了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)．
（4）理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像   和性質(zhì)．
（5）理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)．
（6）能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．

           §02. 函數(shù)  知識(shí)要點(diǎn)

（一）   映射與函數(shù)

1.       映射與一一映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y 的關(guān)系，用y把x表示出，得到x=(y). 若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)x=(y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=(y) (yC)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作,習(xí)慣上改寫成

（二）函數(shù)的性質(zhì)

⒈函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x₁,x_2,

⑴若當(dāng)x₁<x₂時(shí)，都有f(x₁)<f(x₂),則說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)x₁<x₂時(shí)，都有f(x₁)>f(x₂),則說(shuō)f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說(shuō)函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

7. 奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù)：

設(shè)（）為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則（）也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于軸對(duì)稱，例如：在上不是偶函數(shù).

②滿足，或，若時(shí)，.

⑵奇函數(shù)：

設(shè)（）為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則（）也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：在上不是奇函數(shù).

②滿足，或，若時(shí)，.

8. 對(duì)稱變換：①y = f（x）

②y =f（x）

③y =f（x）

9. 判斷函數(shù)單調(diào)性（定義）作差法：對(duì)帶根號(hào)的一定要分子有理化，例如：

在進(jìn)行討論.

10. 外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

例如：已知函數(shù)f（x）= 1+的定義域?yàn)锳，函數(shù)f[f（x）]的定義域是B，則集合A與集合B之間的關(guān)系是          .

解：的值域是的定義域，的值域，故，而A，故.

11. 常用變換：

①.

證：

②

證：

12. ⑴熟悉常用函數(shù)圖象：

例：→關(guān)于軸對(duì)稱.              →→

→關(guān)于軸對(duì)稱.

⑵熟悉分式圖象：

例：定義域，

值域→值域前的系數(shù)之比.

（三）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>1

0<a<1

圖

象

性

質(zhì)

(1)定義域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）過(guò)定點(diǎn)（0，1），即x=0時(shí)，y=1

(4)x>0時(shí)，y>1;x<0時(shí)，0<y<1

(4)x>0時(shí)，0<y<1;x<0時(shí)，y>1.

（5）在 R上是增函數(shù)

（5）在R上是減函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_ax的圖象和性質(zhì):

對(duì)數(shù)運(yùn)算：

（以上）

注⑴：當(dāng)時(shí)，.

⑵：當(dāng)時(shí)，取“+”，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)且時(shí)，，而，故取“―”.

例如：中x＞0而中x∈R）.

⑵（）與互為反函數(shù).

當(dāng)時(shí)，的值越大，越靠近軸；當(dāng)時(shí)，則相反.

a>1

0<a<1

圖

象

性

質(zhì)

（1）定義域：（0，+∞）

（2）值域：R

（3）過(guò)點(diǎn)（1，0），即當(dāng)x=1時(shí)，y=0

（4）時(shí)

時(shí) y>0

時(shí)   

時(shí)

（5）在（0，+∞）上是增函數(shù)

在（0，+∞）上是減函數(shù)

（四）方法總結(jié)

⑴.相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.

⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算：

（以上）

注⑴：當(dāng)時(shí)，.

⑵：當(dāng)時(shí)，取“+”，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)且時(shí)，，而，故取“―”.

例如：中x＞0而中x∈R）.

⑵（）與互為反函數(shù).

當(dāng)時(shí)，的值越大，越靠近軸；當(dāng)時(shí)，則相反.

⑵.函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

⑶.反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y，注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).

⑷.函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開(kāi)方數(shù)不小于0；③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1；④零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問(wèn)題要考慮實(shí)際意義等.

⑸.函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

⑹.單調(diào)性的判定法：①設(shè)x,x是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x＜x；②判定f(x)與f(x)的大��；③作差比較或作商比較.

⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-x)與f(x)之間的關(guān)系：①f(-x)=f(x)為偶函數(shù)；f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函數(shù).

⑻.圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學(xué) 第三章  數(shù)列

考試內(nèi)容：
數(shù)列．
等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式．
等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．
考試要求：
（1）理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)．
（2）理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．
（3）理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．
                   §03. 數(shù) 列  知識(shí)要點(diǎn)

等差數(shù)列

等比數(shù)列

定義

遞推公式

；

；

通項(xiàng)公式

（）

中項(xiàng)

（）

（）

前項(xiàng)和

重要性質(zhì)

1. ⑴等差、等比數(shù)列：

等差數(shù)列

等比數(shù)列

定義

通項(xiàng)公式

=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d

求和公式

中項(xiàng)公式

A=    推廣：2=

。推廣：

性質(zhì)

1

若m+n=p+q則

若m+n=p+q，則。

2

若成A.P（其中）則也為A.P。

若成等比數(shù)列 （其中），則成等比數(shù)列。

3

． 成等差數(shù)列。

成等比數(shù)列。

4

 ，   

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：

①

②2()

③(為常數(shù)).                                                                         

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

①

②(，)^①

注①：i. ，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數(shù)列.

ii. （ac＞0）→為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii. →為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.

iv. 且→為a、b、c等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac＞0，則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).

③(為非零常數(shù)).

④正數(shù)列{}成等比的充要條件是數(shù)列{}（）成等比數(shù)列.

⑷數(shù)列{}的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：

[注]： ①（可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差{}前n項(xiàng)和  →可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若不為零，則是等差數(shù)列的充分條件. 

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）

2. ①等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k²倍；

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2，則；

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則，且，

 .     

3. 常用公式：①1+2+3 …+n =   

②   

③

[注]：熟悉常用通項(xiàng)：9，99，999，…； 5，55，555，….

4. 等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的常見(jiàn)應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問(wèn)題. 例如，第一年產(chǎn)量為，年增長(zhǎng)率為，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為. 其中第年產(chǎn)量為，且過(guò)年后總產(chǎn)量為：

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問(wèn)題. 例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的元過(guò)個(gè)月后便成為元. 因此，第二年年初可存款：

=.

⑶分期付款應(yīng)用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個(gè)月將款全部付清；為年利率.

5. 數(shù)列常見(jiàn)的幾種形式：

⑴（p、q為二階常數(shù)）用特證根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程（對(duì)應(yīng)，x對(duì)應(yīng)），并設(shè)二根②若可設(shè)，若可設(shè)；③由初始值確定.

⑵（P、r為常數(shù)）用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：.

②選代法：

.

③用特征方程求解：.

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：.

6. 幾種常見(jiàn)的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，在時(shí)，有最大值. 如何確定使取最大值時(shí)的值，有兩種方法：

一是求使，成立的值；二是由利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和. 例如：

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

2. 判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對(duì)于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證都成立。

3. 在等差數(shù)列｛｝中,有關(guān)S_n 的最值問(wèn)題：(1)當(dāng)>0,d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值. (2)當(dāng)<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

（三）、數(shù)列求和的常用方法

1. 公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

      2.裂項(xiàng)相消法:適用于其中{ }是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

　　　3.錯(cuò)位相減法:適用于其中{ }是等差數(shù)列，是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。

      4.倒序相加法: 類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

1）: 1+2+3+...+n =      

2） 1+3+5+...+(2n-1) =

 3） 

    4）    

5）     

6） 

高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：
角的概念的推廣．弧度制．
任意角的三角函數(shù)．單位圓中的三角函數(shù)線．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式．
兩角和與差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)．周期函數(shù)．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像．正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)．已知三角函數(shù)值求角．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考試要求：
（1）理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義．
（3）掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
（4）能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明．
（5）理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，理解A.ω、φ的物理意義．
（6）會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．
（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形．
（8）“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”．

§04. 三角函數(shù)  知識(shí)要點(diǎn)

1. ①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：

②終邊在x軸上的角的集合：  

③終邊在y軸上的角的集合：

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：

⑤終邊在y=x軸上的角的集合：

⑥終邊在軸上的角的集合：

⑦若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：

⑧若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：

⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：

⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：

2. 角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2 180°= 1°=0.01745  1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：  1rad＝°≈57.30°=57°18?．     1°＝≈0.01745（rad）

3、弧長(zhǎng)公式：.       扇形面積公式：

4、三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任取（異于原點(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）P與原點(diǎn)的距離為r，則  ；  ；  ；  ；  ；. .

5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：（一全二正弦，三切四余弦）

6、三角函數(shù)線

   正弦線：MP;   余弦線：OM;    正切線： AT.

7. 三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)

                 定義域

sinx

cosx

tanx

cotx

secx

cscx

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：    

9、誘導(dǎo)公式：

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”

 三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組二                  公式組三

公式組四               公式組五               公式組六            

（二）角與角之間的互換

公式組一                                  公式組二

公式組三                    公式組四                                    公式組五

,,,.

10. 正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：

（A、＞0）

定義域

R

R

R

值域

R

R

周期性

奇偶性

奇函數(shù)

偶函數(shù)

奇函數(shù)

奇函數(shù)

當(dāng)非奇非偶

當(dāng)奇函數(shù)

單調(diào)性

上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）

；上為增函數(shù)

上為減函數(shù)

（）

上為增函數(shù)（）

上為減函數(shù)（）

上為增函數(shù)；

上為減函數(shù)（）

注意：①與的單調(diào)性正好相反；與的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）.

②與的周期是.

③或（）的周期.

的周期為2（，如圖，翻折無(wú)效）.

④的對(duì)稱軸方程是（），對(duì)稱中心（）；的對(duì)稱軸方程是（），對(duì)稱中心（）；的對(duì)稱中心（）.

⑤當(dāng)?；?.

⑥與是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，則

.

⑦函數(shù)在上為增函數(shù).（×） [只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增. 若在整個(gè)定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的].

⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函數(shù)：）

奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反. 例如：是奇函數(shù)，是非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若的定義域，則一定有.（的定義域，則無(wú)此性質(zhì)）

⑨不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）；

是周期函數(shù)（如圖）；為周期函數(shù)（）；

的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：

.

⑩ 有.

11、三角函數(shù)圖象的作法：

１）、幾何法：

２）、描點(diǎn)法及其特例――五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線），三點(diǎn)二線作圖法（正、余切曲線）.

３）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象．

三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．

函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，頻率，相位初相（即當(dāng)x＝0時(shí)的相位）．（當(dāng)A＞0，ω＞0 時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)），

由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)|A|＞1）或縮短（當(dāng)0＜|A|＜1）到原來(lái)的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來(lái)的倍，得到y(tǒng)＝sinω x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0）或向右（當(dāng)φ＜0）平行移動(dòng)｜φ｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)b＞0）或向下（當(dāng)b＜0）平行移動(dòng)｜b｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

4、反三角函數(shù)：

函數(shù)y＝sinx，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y＝arcsinx，它的定義域是［－1，1］，值域是．

函數(shù)y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函數(shù)y＝tanx，的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y＝arctanx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是．

函數(shù)y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II. 競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)

1. 反三角函數(shù)：⑴反正弦函數(shù)是奇函數(shù)，故，（一定要注明定義域，若，沒(méi)有與一一對(duì)應(yīng)，故無(wú)反函數(shù)）

注：，，.

⑵反余弦函數(shù)非奇非偶，但有，.

注：①，，.

②是偶函數(shù)，非奇非偶，而和為奇函數(shù).

⑶反正切函數(shù)：，定義域，值域（），是奇函數(shù)，

，.

注：，.

⑷反余切函數(shù)：，定義域，值域（），是非奇非偶.

，.

注：①，.

②與互為奇函數(shù)，同理為奇而與非奇非偶但滿足.

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集：

的取值范圍   解集                             的取值范圍   解集

①的解集                               ②的解集

＞1                                        ＞1           

=1                  =1  

＜1            ＜1 

③的解集：         ③的解集：

二、三角恒等式.

組一

組二

組三 三角函數(shù)不等式

＜＜            在上是減函數(shù)

若，則

高中數(shù)學(xué)第五章-平面向量

考試內(nèi)容：
向量．向量的加法與減法．實(shí)數(shù)與向量的積．平面向量的坐標(biāo)表示．線段的定比分點(diǎn)．平面向量的數(shù)量積．平面兩點(diǎn)間的距離、平移．
考試要求：
（1）理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．
（2）掌握向量的加法和減法．
（3）掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件．
（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
（5）掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件．
（6）掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用掌握平移公式．

§05. 平面向量  知識(shí)要點(diǎn)

1.本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

?

2.向量的概念?

(1)向量的基本要素：大小和方向.?(2)向量的表示：幾何表示法 ；字母表示：a；

坐標(biāo)表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.?

(3)向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作｜a｜.?

(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.?

單位向量a_O為單位向量｜a_O｜＝1.?

(5)相等的向量：大小相等，方向相同?(ｘ₁，ｙ₁)＝（ｘ₂，ｙ₂）

(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量.?

3.向量的運(yùn)算?

運(yùn)算類型

幾何方法

坐標(biāo)方法

運(yùn)算性質(zhì)

向量的

加法

1.平行四邊形法則

2.三角形法則

向量的

減法

三角形法則

,

數(shù)

乘

向

量

1.是一個(gè)向量,滿足:

2.>0時(shí), 同向;

<0時(shí), 異向;

=0時(shí), .

向

量

的

數(shù)

量

積

是一個(gè)數(shù)

1.時(shí)，

.

2.

4.重要定理、公式

(1)平面向量基本定理?

e₁，e₂是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ₁，

λ₂，使a＝λ₁e₁＋λ₂e₂.?

(2)兩個(gè)向量平行的充要條件?

a∥ba＝λb(b≠0)x₁y₂－x₂y₁＝O.?

(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件?

a⊥ba?b＝Ox₁x₂＋y₁y­₂＝O.?

(4)線段的定比分點(diǎn)公式?

設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ，即＝λ，則?

＝＋ (線段的定比分點(diǎn)的向量公式)?

 (線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)?

當(dāng)λ＝1時(shí)，得中點(diǎn)公式：?

＝（＋）或

 (5)平移公式

設(shè)點(diǎn)P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到點(diǎn)P′（x′，y′），

則＝+a或

曲線y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：

y－ｋ＝f（x－ｈ)

(6)正、余弦定理?

正弦定理：

余弦定理：a²＝b²＋c²－2bccosA，?

b²＝c²＋a²－2cacosB，?

c²＝a²＋b²－2abcosC.?

（7）三角形面積計(jì)算公式：

設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為h_a，h_b，h_c，半周長(zhǎng)為P，外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R，r.

①S_△=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c                 ②S_△=Pr      ③S_△=abc/4R

④S_△=1/2sinC?ab=1/2ac?sinB=1/2cb?sinA   ⑤S_△=  [海倫公式]  

⑥S_△=1/2（b+c-a）r_a[如下圖]=1/2（b+a-c）r_c=1/2（a+c-b）r_b

[注]：到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)，一個(gè)是內(nèi)心，其余3個(gè)是旁心.

如圖：                                         

 圖1中的I為S_△ABC的內(nèi)心， S_△=Pr

圖2中的I為S_△ABC的一個(gè)旁心，S_△=1/2（b+c-a）r_a

附：三角形的五個(gè)“心”；

重心：三角形三條中線交點(diǎn).

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).

內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).

垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).

旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn).

⑸已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s為△ABC的半周長(zhǎng),即]

則：①AE==1/2（b+c-a）                                                

②BN==1/2（a+c-b）

③FC==1/2（a+b-c）

綜合上述：由已知得，一個(gè)角的鄰邊的切線長(zhǎng)，等于半周長(zhǎng)減去對(duì)邊（如圖4）.                                 

特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則內(nèi)切圓半徑r=（如圖3）.           

⑹在△ABC中，有下列等式成立.

證明：因?yàn)?sub>所以，所以，結(jié)論！

⑺在△ABC中，D是BC上任意一點(diǎn)，則.

證明：在△ABCD中，由余弦定理，有①

在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化簡(jiǎn)

可得，（斯德瓦定理）

①若AD是BC上的中線，；

②若AD是∠A的平分線，，其中為半周長(zhǎng)；

③若AD是BC上的高，，其中為半周長(zhǎng).

⑻△ABC的判定：

△ABC為直角△∠A + ∠B =

＜△ABC為鈍角△∠A + ∠B＜

＞△ABC為銳角△∠A + ∠B＞

附：證明：，得在鈍角△ABC中，

⑼平行四邊形對(duì)角線定理：對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和.

空間向量

1．空間向量的概念：

具有大小和方向的量叫做向量

注：⑴空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量

⑵向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量

⑶空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示

2．空間向量的運(yùn)算

定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下

運(yùn)算律：⑴加法交換律：

⑵加法結(jié)合律：

⑶數(shù)乘分配律：

3 共線向量

表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．

當(dāng)我們說(shuō)向量、共線（或//）時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．

4．共線向量定理及其推論：

共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、（≠），//的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ.

推論：如果為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式

．

其中向量叫做直線的方向向量.

5．向量與平面平行：

已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說(shuō)向量平行于平面，記作：．

通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量

說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的

6．共面向量定理：

如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使

推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使或?qū)�空間任一點(diǎn)，有       ①

①式叫做平面的向量表達(dá)式

7 空間向量基本定理：

如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使

推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)

有序?qū)崝?shù)，使

8 空間向量的夾角及其表示：

已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：.

9．向量的模：

設(shè)，則有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作：.

10．向量的數(shù)量積： ．

已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點(diǎn)在上的射影，作點(diǎn)在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影.

可以證明的長(zhǎng)度．

11．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：    

（1）．（2）．（3）．

12．空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：

（1）．（2）（交換律）（3）（分配律）．

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.

①令=(a₁,a₂,a₃),，則

    ∥          

(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)

②空間兩點(diǎn)的距離公式：.

（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為.

②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小（方向相同，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角）.

③證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且CDE三點(diǎn)不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.

高中數(shù)學(xué)第六章-不等式

考試內(nèi)容：

不等式．不等式的基本性質(zhì)．不等式的證明．不等式的解法．含絕對(duì)值的不等式．
考試要求：
（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明．
（2）掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．
（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式．
（4）掌握簡(jiǎn)單不等式的解法．
（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 

§06. 不 等 式  知識(shí)要點(diǎn)

1.     不等式的基本概念

（1）       不等（等）號(hào)的定義：

（2）       不等式的分類：絕對(duì)不等式；條件不等式；矛盾不等式.

（3）       同向不等式與異向不等式.

（4）       同解不等式與不等式的同解變形.

2.不等式的基本性質(zhì)

（1）（對(duì)稱性）

（2）（傳遞性）

（3）（加法單調(diào)性）

（4）（同向不等式相加）

（5）（異向不等式相減）

（6）

（7）（乘法單調(diào)性）

（8）（同向不等式相乘）

（異向不等式相除）

（倒數(shù)關(guān)系）

（11）（平方法則）

（12）（開(kāi)方法則）

3.幾個(gè)重要不等式

（1）

（2）（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

（3）如果a,b都是正數(shù)，那么 （當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

極值定理：若則：

1如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最小； 

2如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大.

     利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等.

（當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）

（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

（7）

4.幾個(gè)著名不等式

 （1）平均不等式：   如果a,b都是正數(shù)，那么 （當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：

特別地，（當(dāng)a = b時(shí)，）

冪平均不等式：

注：例如：.

常用不等式的放縮法：①

②

（2）柯西不等式：

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)有

則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).

5.不等式證明的幾種常用方法

  比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.

  步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.

特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax²+bx+c>0(a≠0)解的討論.

（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

（3）無(wú)理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

    1

 2       3

（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

（6）含絕對(duì)值不等式

1應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值；     2應(yīng)用數(shù)形思想；

3應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化

注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：

①       

②

類似于，③

高中數(shù)學(xué)第七章-直線和圓的方程

考試內(nèi)容：
直線的傾斜角和斜率，直線方程的點(diǎn)斜式和兩點(diǎn)式．直線方程的一般式．
兩條直線平行與垂直的條件．兩條直線的交角．點(diǎn)到直線的距離．
用二元一次不等式表示平面區(qū)域．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題．
曲線與方程的概念．由已知條件列出曲線方程．
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程．圓的參數(shù)方程．
考試要求：
（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程．
（2）掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系．
（3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域．
（4）了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．
（5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法．
（6）掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程．

§07. 直線和圓的方程  知識(shí)要點(diǎn)

1. 直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是.

注：①當(dāng)或時(shí)，直線垂直于軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時(shí)，其傾斜角也對(duì)應(yīng)確定.

2. 直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式、斜切式.

特別地，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，即直線在軸，軸上的截距分別為時(shí)，直線方程是：.

注：若是一直線的方程，則這條直線的方程是，但若則不是這條線.

附：直線系：對(duì)于直線的斜截式方程，當(dāng)均為確定的數(shù)值時(shí)，它表示一條確定的直線，如果變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線也會(huì)變化.①當(dāng)為定植，變化時(shí)，它們表示過(guò)定點(diǎn)（0，）的直線束.②當(dāng)為定值，變化時(shí)，它們表示一組平行直線.

3. ⑴兩條直線平行：

∥兩條直線平行的條件是：①和是兩條不重合的直線. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個(gè)“前提”都會(huì)導(dǎo)致結(jié)論的錯(cuò)誤.

（一般的結(jié)論是：對(duì)于兩條直線，它們?cè)?sub>軸上的縱截距是，則∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分條件，且）

推論：如果兩條直線的傾斜角為則∥.                   

⑵兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線和的斜率分別為和，則有這里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要條件）

4. 直線的交角：

⑴直線到的角（方向角）；直線到的角，是指直線繞交點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到與重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角，它的范圍是，當(dāng)時(shí).

⑵兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個(gè)角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是，當(dāng)，則有.

5. 過(guò)兩直線的交點(diǎn)的直線系方程為參數(shù)，不包括在內(nèi)）

6. 點(diǎn)到直線的距離：

⑴點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)點(diǎn)，直線到的距離為，則有.

注：

1.       兩點(diǎn)P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)的距離公式：.

特例：點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O的距離：

2.        定比分點(diǎn)坐標(biāo)分式。若點(diǎn)P(x,y)分有向線段,其中P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂).則 

特例，中點(diǎn)坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。

3.       直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率:

4.       過(guò)兩點(diǎn).

當(dāng)（即直線和x軸垂直）時(shí)，直線的傾斜角＝，沒(méi)有斜率

⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線，它們之間的距離為，則有.

注；直線系方程

1. 與直線：Ax+By+C= 0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.( m∊R, C≠m).

2. 與直線：Ax+By+C= 0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.( m∊R)

3. 過(guò)定點(diǎn)（x₁,y₁）的直線系方程是：   A(x-x₁)+B(y-y₁)=0  (A,B不全為0)

4. 過(guò)直線l₁、l₂交點(diǎn)的直線系方程：（A₁x+B₁y+C₁）+λ( A₂x+B₂y+C₂）=0 (λ∊R）   注：該直線系不含l₂.

7. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和關(guān)于某直線對(duì)稱：

⑴關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩條直線一定是平行直線，且這個(gè)點(diǎn)到兩直線的距離相等.

⑵關(guān)于某直線對(duì)稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對(duì)稱直線也平行，且兩直線到對(duì)稱直線距離相等.

若兩條直線不平行，則對(duì)稱直線必過(guò)兩條直線的交點(diǎn)，且對(duì)稱直線為兩直線夾角的角平分線.

⑶點(diǎn)關(guān)于某一條直線對(duì)稱，用中點(diǎn)表示兩對(duì)稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在對(duì)稱直線上（方程①），過(guò)兩對(duì)稱點(diǎn)的直線方程與對(duì)稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對(duì)稱點(diǎn).

注：①曲線、直線關(guān)于一直線（）對(duì)稱的解法：y換x，x換y. 例：曲線f(x ,y)=0關(guān)于直線y=x?2對(duì)稱曲線方程是f(y+2 ,x ?2)=0.

②曲線C: f(x ,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a ,b)的對(duì)稱曲線方程是f(a ? x, 2b ? y)=0.

1. ⑴曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線上的 與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)建立了如下關(guān)系：

①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.

②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

那么這個(gè)方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.

⑵曲線和方程的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是曲線上任一點(diǎn)其坐標(biāo)與方程的一種關(guān)系，曲線上任一點(diǎn)是方程的解；反過(guò)來(lái)，滿足方程的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).

注：如果曲線C的方程是f(x ,y)=0，那么點(diǎn)P₀(x₀ ,y)線C上的充要條件是f(x₀ ,y₀)=0

2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：.

注：特殊圓的方程：①與軸相切的圓方程  

②與軸相切的圓方程         

③與軸軸都相切的圓方程     

3. 圓的一般方程： .

當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心，半徑.

當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，方程無(wú)圖形（稱虛圓）.

注：①圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）.

②方程表示圓的充要條件是：且且.

③圓的直徑或方程：已知（用向量可征）.

4. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)及圓.

①在圓內(nèi)

②在圓上

③在圓外

5. 直線和圓的位置關(guān)系：

  設(shè)圓圓：；    直線：；

  圓心到直線的距離.

①時(shí)，與相切；

附：若兩圓相切，則相減為公切線方程.

②時(shí)，與相交；

附：公共弦方程：設(shè)

有兩個(gè)交點(diǎn)，則其公共弦方程為.

③時(shí)，與相離.

附：若兩圓相離，則相減為圓心的連線的中與線方程.

  由代數(shù)特征判斷：方程組用代入法，得關(guān)于（或）的一元二次方程，其判別式為，則：

與相切；

與相交；

與相離.

注：若兩圓為同心圓則，相減，不表示直線.

6. 圓的切線方程：圓的斜率為的切線方程是過(guò)圓

上一點(diǎn)的切線方程為：.

①一般方程若點(diǎn)(x₀ ,y₀)在圓上，則(x ? a)(x₀ ? a)+(y ? b)(y₀ ? b)=R². 特別地，過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為.

②若點(diǎn)(x₀ ,y₀)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.

7. 求切點(diǎn)弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點(diǎn)弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程. 如圖：ABCD四類共圓. 已知的方程…① 又以ABCD為圓為方程為…②

…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.

1.曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

1） 曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；

2） 方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上（完備性）。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。

2.求曲線方程的方法：.

1）直接法：建系設(shè)點(diǎn)，列式表標(biāo),簡(jiǎn)化檢驗(yàn);    2）參數(shù)法;    3）定義法，    4）待定系數(shù)法.

高中數(shù)學(xué)第八章-圓錐曲線方程

考試內(nèi)容：
橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．橢圓的參數(shù)方程．
雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程．雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．
拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程．拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．
考試要求：
（1）掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程．
（2）掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．
（3）掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．
（4）了解圓錐曲線的初步應(yīng)用．
               §08. 圓錐曲線方程  知識(shí)要點(diǎn)

1. 橢圓方程的第一定義：

⑴①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

i. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：. ii. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：.         

②一般方程：.③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為（一象限應(yīng)是屬于）.

⑵①頂點(diǎn)：或.②軸：對(duì)稱軸：x軸，軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng).③焦點(diǎn)：或.④焦距：.⑤準(zhǔn)線：或.⑥離心率：.⑦焦點(diǎn)半徑：

i. 設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，則

由橢圓方程的第二定義可以推出.

ii.設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為上、下焦點(diǎn)，則

由橢圓方程的第二定義可以推出.

由橢圓第二定義可知：歸結(jié)起來(lái)為“左加右減”.

注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得方程的軌跡為橢圓.

⑧通徑：垂直于x軸且過(guò)焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：和

⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是 我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.

⑸若P是橢圓：上的點(diǎn).為焦點(diǎn)，若，則的面積為（用余弦定理與可得）. 若是雙曲線，則面積為.

1. 雙曲線的第一定義：

⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：. 一般方程：.

⑵①i. 焦點(diǎn)在x軸上： 

頂點(diǎn)：  焦點(diǎn)：   準(zhǔn)線方程 漸近線方程：或

ii. 焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：.  焦點(diǎn)：. 準(zhǔn)線方程：.  漸近線方程：或，參數(shù)方程：或 .

②軸為對(duì)稱軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a, 虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c.  ③離心率.   ④準(zhǔn)線距（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑.  ⑤參數(shù)關(guān)系.  ⑥焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)）

 “長(zhǎng)加短減”原則：

 構(gòu)成滿足  （與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào)）

⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.

⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.

⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為.

例如：若雙曲線一條漸近線為且過(guò)，求雙曲線的方程？

解：令雙曲線的方程為：，代入得.

⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無(wú)切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；

區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；

區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；

區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；

區(qū)域⑤：即過(guò)原點(diǎn)，無(wú)切線，無(wú)與漸近線平行的直線.

小結(jié)：過(guò)定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.

（2）若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).

⑺若P在雙曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m = n，則P到兩準(zhǔn)線的距離比為m┱n.

簡(jiǎn)證：  = .

常用結(jié)論2：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.

3. 設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：

圖形

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線

范圍

對(duì)稱軸

軸

軸

頂點(diǎn)

                                 （0，0）

離心率

焦點(diǎn)

注：①頂點(diǎn).

②則焦點(diǎn)半徑;則焦點(diǎn)半徑為.

③通徑為2p，這是過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中最短的.

④（或）的參數(shù)方程為（或）（為參數(shù)）.

四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義..

4. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.

當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；

當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；

當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線；

當(dāng)時(shí)，軌跡為圓（，當(dāng)時(shí)）.

5. 圓錐曲線方程具有對(duì)稱性. 例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)原點(diǎn)的一條直線與雙曲線的交點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.

因?yàn)榫哂袑?duì)稱性，所以欲證AB=CD, 即證AD與BC的中點(diǎn)重合即可.

注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

橢圓

雙曲線

拋物線

定義

1．到兩定點(diǎn)F₁,F₂的距離之和為定值2a(2a>|F₁F₂|)的點(diǎn)的軌跡

1．到兩定點(diǎn)F₁,F₂的距離之差的絕對(duì)值為定值2a(0<2a<|F₁F₂|)的點(diǎn)的軌跡

2．與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（0<e<1）

2．與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（e>1）

與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡.

圖形

方

程

標(biāo)準(zhǔn)方程

(>0)

(a>0,b>0)

y²=2px

參數(shù)方程

(t為參數(shù))

范圍

─a£x£a，─b£y£b

|x| ³ a，yÎR

x³0

中心

原點(diǎn)O（0，0）

原點(diǎn)O（0，0）

頂點(diǎn)

(a,0),  (─a,0),  (0,b) , (0,─b)

(a,0),  (─a,0)

(0,0)

對(duì)稱軸

x軸，y軸；

長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2b

x軸，y軸;

實(shí)軸長(zhǎng)2a, 虛軸長(zhǎng)2b.

x軸

焦點(diǎn)

F₁(c,0), F₂(─c,0)

F₁(c,0), F₂(─c,0)

焦距

2c  （c=）

2c  （c=）

離心率

e=1

準(zhǔn)線

x=

x=

漸近線

y=±x

焦半徑

通徑

2p

焦參數(shù)

P

1.       橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的其他形式及相應(yīng)性質(zhì).

2.       等軸雙曲線

3.       共軛雙曲線

5. 方程y²=ax與x²=ay的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程.

6.共漸近線的雙曲線系方程.

高中數(shù)學(xué)第九章-立體幾何

考試內(nèi)容

平面及其基本性質(zhì)．平面圖形直觀圖的畫法．
平行直線．對(duì)應(yīng)邊分別平行的角．異面直線所成的角．異面直線的公垂線．異面直線的距離．
直線和平面平行的判定與性質(zhì)．直線和平面垂直的判定與性質(zhì)．點(diǎn)到平面的距離．斜線在平面上的射影．直線和平面所成的角．三垂線定理及其逆定理．
平行平面的判定與性質(zhì)．平行平面間的距離．二面角及其平面角．兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)．
多面體．正多面體．棱柱．棱錐．球．
考試要求
（1）掌握平面的基本性質(zhì)，會(huì)用斜二測(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖;能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系．
（2）掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離．
（3）掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理；掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念掌握三垂線定理及其逆定理．
（4）掌握兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握二面角、二面角的平面角、兩個(gè)平行平面間的距離的概念，掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理．
（5）會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的問(wèn)題．
（6）了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念．
（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖．
（8）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫正棱錐的直觀圖．
（9）了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式．
9（B）．直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體 
考試內(nèi)容：
平面及其基本性質(zhì)．平面圖形直觀圖的畫法．
平行直線．
直線和平面平行的判定與性質(zhì)．直線和平面垂直的判定．三垂線定理及其逆定理．
兩個(gè)平面的位置關(guān)系．
空間向量及其加法、減法與數(shù)乘．空間向量的坐標(biāo)表示．空間向量的數(shù)量積．
直線的方向向量．異面直線所成的角．異面直線的公垂線．異面直線的距離．
直線和平面垂直的性質(zhì)．平面的法向量．點(diǎn)到平面的距離．直線和平面所成的角．向量在平面內(nèi)的射影．
平行平面的判定和性質(zhì)．平行平面間的距離．二面角及其平面角．兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)．
多面體．正多面體．棱柱．棱錐．球．
考試要求：
（1）掌握平面的基本性質(zhì)。會(huì)用斜二測(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖：能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形.能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系．
（2）掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；理解直線和平面垂直的概念.掌握直線和平面垂直的判定定理；掌握三垂線定理及其逆定理．
（3）理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘．
（4）了解空間向量的基本定理；理解空間向量坐標(biāo)的概念.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
（5）掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)：掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間距離公式．
（6）理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念．
（7）掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念.對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距離掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理掌握兩個(gè)平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理．
（8）了解多面體、凸多面體的概念。了解正多面體的概念．
（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖．
（10）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)。會(huì)畫正棱錐的直觀圖．
（11）了解球的概念.掌握球的性質(zhì).掌握球的表面積、體積公式．
（考生可在9（A）和9（B）中任選其一） 
§09. 立體幾何  知識(shí)要點(diǎn)

一、             平面.

1. 經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面.

注：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).

2. 兩個(gè)平面可將平面分成3或4部分.（①兩個(gè)平面平行，②兩個(gè)平面相交）

3. 過(guò)三條互相平行的直線可以確定1或3個(gè)平面.（①三條直線在一個(gè)平面內(nèi)平行，②三條直線不在一個(gè)平面內(nèi)平行）

[注]：三條直線可以確定三個(gè)平面，三條直線的公共點(diǎn)有0或1個(gè).

4. 三個(gè)平面最多可把空間分成 8 部分.（X、Y、Z三個(gè)方向）

1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線―共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線―共面沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線―不同在任一平面內(nèi)

[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（×）（可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等）

②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交

③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).

④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).

⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）

⑥在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線長(zhǎng)相等.（×）（并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段）

⑦是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.

2. 異面直線判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）

3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

4. 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如下圖）.

                                                （二面角的取值范圍）

                                                （直線與直線所成角）

                                                （斜線與平面成角）

                                                （直線與平面所成角）

（向量與向量所成角

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.

5. 兩異面直線的距離：公垂線的長(zhǎng)度.

空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.

是異面直線，則過(guò)外一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且與都平行平面有一個(gè)或沒(méi)有，但與距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi). （或在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）

1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).

2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行，線面平行”）

[注]：①直線與平面內(nèi)一條直線平行，則∥. （×）（平面外一條直線）

②直線與平面內(nèi)一條直線相交，則與平面相交. （×）（平面外一條直線）

③若直線與平面平行，則內(nèi)必存在無(wú)數(shù)條直線與平行. （√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）

④兩條平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面. （×）（可能在此平面內(nèi)）

⑤平行于同一直線的兩個(gè)平面平行.（×）（兩個(gè)平面可能相交）

⑥平行于同一個(gè)平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）

⑦直線與平面、所成角相等，則∥.（×）（、可能相交）

3. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）

4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.

l         若⊥，⊥，得⊥（三垂線定理），