2009年高考數(shù)學(xué)難點突破專題輔導(dǎo)三十

難點30  概  率

概率是高考的重點內(nèi)容之一，尤其是新增的隨機變量這部分內(nèi)容.要充分注意一些重要概念的實際意義，理解概率處理問題的基本思想方法.

●難點磁場

(★★★★★)如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)N₁、N₂，當(dāng)元件A、B、C都正常工作時，系統(tǒng)N₁正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N₂正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90，分別求系統(tǒng)N₁，N₂正常工作的概率P₁、P₂.

●案例探究

［例1］(★★★★★)有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻率數(shù)如下：

［10，15］4  ［30，359  ［15，205  ［35，408  ［20，2510  ［40，453  ［25，3011

(1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；

(2)畫出頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖.

命題意圖：本題主要考查頻率分布表，頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖的畫法.

知識依托：頻率、累積頻率的概念以及頻率分布表、直方圖和累積頻率分布圖的畫法.

錯解分析：解答本題時，計算容易出現(xiàn)失誤，且要注意頻率分布與累積頻率分布的區(qū)別.

技巧與方法：本題關(guān)鍵在于掌握三種表格的區(qū)別與聯(lián)系.

解：(1)由所給數(shù)據(jù)，計算得如下頻率分布表

數(shù)據(jù)段

［10,15

［15,20

［20,25

［25,30

［30,35

［35,40

［40,45

總計

頻數(shù)

4

5

10

11

9

8

3

50

頻率

0.08

0.10

0.20

0.22

0.18

0.16

0.06

1

累積頻率

0.08

0.18

0.38

0.60

0.78

0.94

1

(2)頻率分布直方圖與累積頻率分布圖如下：

［例2］(★★★★★)某電器商經(jīng)過多年的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)本店每個月售出的電冰箱的臺數(shù)ζ是一個隨機變量，它的分布列如下：

ζ

1

2

3

……

12

P

……

設(shè)每售出一臺電冰箱，電器商獲利300元，如銷售不出而囤積于倉庫，則每臺每月需花保養(yǎng)費用100元，問電器商每月初購進(jìn)多少臺電冰箱才能使自己月平均收益最大？

命題意圖：本題考查利用概率中的某些知識如期望來解決實際問題.

知識依托：期望的概念及函數(shù)的有關(guān)知識.

錯解分析：在本題中，求Ey是一個難點，稍有不慎，就將產(chǎn)生失誤.

技巧與方法：可借助概率分布、期望、方差等知識來解決日常生產(chǎn)生活中的實際問題.

解：設(shè)x為月初電器商購進(jìn)的冰箱臺數(shù)，只須考慮1≤x≤12的情況，設(shè)電器商每月的收益為y元，則y是隨機變量ζ的函數(shù)且y=,電器商平均每月獲益的平均數(shù)，即數(shù)學(xué)期望為：Ey=300x(P_x+P_x+1+…+P₁₂)+［300－100(x－1)］P₁+［2×300－100(x－2)］P₂+…+［300(x－1)－100］P_x－1

=300x(12－x+1)+ ［300×］

=(－2x²+38x)

由于x∈N,故可求出當(dāng)x=9或x=10時，也即電器商月初購進(jìn)9臺或10臺電冰箱時，收益最大.

●錦囊妙記

本章內(nèi)容分為概率初步和隨機變量兩部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率和獨立重復(fù)實驗.第二部分包括隨機變量、離散型隨機變量的期望與方差.

涉及的思維方法：觀察與試驗、分析與綜合、一般化與特殊化.

主要思維形式有：邏輯思維、聚合思維、形象思維和創(chuàng)造性思維.

●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

試題詳情

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三、解答題

試題詳情

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難點磁場

解：記元件A、B、C正常工作的事件分別為A、B、C，由已知條件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90.

(1)因為事件A、B、C是相互獨立的，所以，系統(tǒng)N₁正常工作的概率P₁=P(A?B?C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系統(tǒng)N₁正常工作的概率為0.648

(2)系統(tǒng)N₂正常工作的概率P₂=P(A)?［1－P()］

=P(A)?［1－P()P()］

=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792

故系統(tǒng)N₂正常工作的概率為0.792

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A，乙命中目標(biāo)為事件B，丙命中目標(biāo)為事件C，則目標(biāo)被擊中的事件可以表示為A+B+C，即擊中目標(biāo)表示事件A、B、C中至少有一個發(fā)生.

故目標(biāo)被擊中的概率為1－P(??)=1－

答案：A

2.解析：Eξ=(1+2+3)?=2，Eξ²=(1²+2²+3²)?=

∴Dξ=Eξ²－(Eξ)²=－2²=.

∴D(3ξ+5)=9Eξ=6.

答案：A

二、3.解析：由條件知，ξ的取值為0，1，2，3，并且有P(ξ=0)=,

答案：0.3

4.解析：因為每組人數(shù)為13，因此，每組選1人有C種方法，所以所求概率為P=.

答案：

三、5.解：(1)我們把“甲射擊一次擊中目標(biāo)”叫做事件A，“乙射擊一次擊中目標(biāo)”叫做事件B.顯然事件A、B相互獨立，所以兩人各射擊一次都擊中目標(biāo)的概率是P(A?B)?=P(A)?P(B)=0.6×0.6=0.36

答：兩人都擊中目標(biāo)的概率是0.36

(2)同理，兩人各射擊一次，甲擊中、乙未擊中的概率是P(A?)=P(A)?P()=0.6×

(1－0.6)=0.6×0.4=0.24

甲未擊中、乙擊中的概率是P(?B)=P()P(B)=0.24，顯然，“甲擊中、乙未擊中”和“甲未擊中、乙擊中”是不可能同時發(fā)生，即事件A?與?B互斥，所以恰有一人擊中目標(biāo)的概率是P(A?)+P(?B)=0.24+0.24=0.48

答：其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率是0.48.

(2)兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標(biāo)的概率P=P(A?B)+［P(A?)+P()?B］=0.36+0.48=0.84

答：至少有一人擊中目標(biāo)的概率是0.84.

6.解：(1)因為ξ所在區(qū)間上的概率總和為1，所以 (1－a+2－a)?1=1,

∴a=

概率密度曲線如圖：

(2)P(1＜ξ＜)=

7.解：一元二次方程有實數(shù)根Δ≥0

而Δ=P²－4()=P²－P－2=(P+1)(P－2)

解得P≤－1或P≥2

故所求概率為P=

8.解：以X表示一周5天內(nèi)機器發(fā)生故障的天數(shù)，則X－B(5，0.2)，于是X有概率分布P(X=k)=C0.2^k0.8^5－k,k=0,1,2,3,4,5.

以Y表示一周內(nèi)所獲利潤，則

Y=g(X)=

Y的概率分布為：

P(Y=10)=P(X=0)=0.8⁵=0.328

P(Y=5)=P(X=1)=C0.2?0.8⁴=0.410

P(Y=0)=P(X=2)=C?0.2²?0.8³=0.205

P(Y=－2)=P(X≥3)=1－P(X=0)－P(X=1)－P(X=2)=0.057

故一周內(nèi)的期望利潤為：

EY=10×0.328+5×0.410+0×0.205－2×0.057=5.216(萬元)