2009年高考數學難點突破專題輔導十九

難點19  解不等式

不等式在生產實踐和相關學科的學習中應用廣泛，又是學習高等數學的重要工具，所以不等式是高考數學命題的重點，解不等式的應用非常廣泛，如求函數的定義域、值域，求參數的取值范圍等，高考試題中對于解不等式要求較高，往往與函數概念，特別是二次函數、指數函數、對數函數等有關概念和性質密切聯(lián)系，應重視；從歷年高考題目看，關于解不等式的內容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的則是間接考查解不等式.

●難點磁場

(★★★★)解關于x的不等式＞1(a≠1).

●案例探究

［例1］已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0時＞0.

(1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函數；

(2)解不等式：f(x+)＜f()；

(3)若f(x)≤t²－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求實數t的取值范圍.

命題意圖：本題是一道函數與不等式相結合的題目，考查學生的分析能力與化歸能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：本題主要涉及函數的單調性與奇偶性，而單調性貫穿始終，把所求問題分解轉化，是函數中的熱點問題；問題的要求的都是變量的取值范圍，不等式的思想起到了關鍵作用.

錯解分析：(2)問中利用單調性轉化為不等式時，x+∈［－1，1］，∈［－1，1］必不可少，這恰好是容易忽略的地方.

技巧與方法：(1)問單調性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式是關鍵，(3)問利用單調性把f(x)轉化成“1”是點睛之筆.

(1)證明：任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈［－1，1］，則f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)+f(－x₂)=?(x₁－x₂)

∵－1≤x₁＜x₂≤1，

∴x₁+(－x₂)≠0，由已知＞0，又 x₁－x₂＜0，

∴f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x)在［－1，1］上為增函數.

(2)解：∵f(x)在［－1，1］上為增函數，

∴  解得：{x|－≤x＜－1，x∈R}

(3)解：由(1)可知f(x)在［－1，1］上為增函數，且f(1)=1，故對x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t²－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t²－2at+1≥1成立，故t²－2at≥0，記g(a)=t²－2at，對a∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2.∴t的取值范圍是：{t|t≤－2或t=0或t≥2}.

［例2］設不等式x²－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實數a的取值

范圍.

命題意圖：考查二次不等式的解與系數的關系及集合與集合之間的關系，屬★★★★級題目.

知識依托：本題主要涉及一元二次不等式根與系數的關系及集合與集合之間的關系，以及分類討論的數學思想.

錯解分析：M=是符合題設條件的情況之一，出發(fā)點是集合之間的關系考慮是否全面，易遺漏；構造關于a的不等式要全面、合理，易出錯.

技巧與方法：該題實質上是二次函數的區(qū)間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數之間的內在聯(lián)系是關鍵所在；數形結合的思想使題目更加明朗.

解：M［1，4］有n種情況：其一是M=，此時Δ＜0；其二是M≠，此時Δ＞0，分三種情況計算a的取值范圍.

設f(x)=x² －2ax+a+2，有Δ=(－2a)²－(4a+2)=4(a²－a－2)

(1)當Δ＜0時，－1＜a＜2，M=［1，4］

(2)當Δ=0時，a=－1或2.當a=－1時M={－1}?［1，4］；當a=2時，m={2}［1，4］.

(3)當Δ＞0時，a＜－1或a＞2.設方程f(x)=0的兩根x₁，x₂，且x₁＜x₂，那么M=［x₁，x₂］，M［1，4］1≤x₁＜x₂≤4

即，解得：2＜a＜，

∴M［1，4］時，a的取值范圍是(－1，).

●錦囊妙計

解不等式對學生的運算化簡等價轉化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進一步轉化，對解不等式的考查將會更是熱點，解不等式需要注意下面幾個問題：

(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法.

(2)掌握用序軸標根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法.

(3)掌握無理不等式的三種類型的等價形式，指數和對數不等式的幾種基本類型的解法.

(4)掌握含絕對值不等式的幾種基本類型的解法.

(5)在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不等式等價地轉化為易解的不等式.

(6)對于含字母的不等式，要能按照正確的分類標準，進行分類討論.

●殲滅難點訓練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

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三、解答題

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難點磁場

解：原不等式可化為：＞0，

即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.

當a＞1時，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解.

若≥2，即0≤a＜1時，原不等式無解；若＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞).

當a＜1時，若a＜0，解集為(，2)；若0＜a＜1，解集為(2，)

綜上所述：當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a＜0時，解集為(，2）.

殲滅難點訓練

一、1.解析：由f(x)及f(a)＞1可得：

    ①  或   ②  或   ③

解①得a＜－2，解②得－＜a＜1，解③得x∈

∴a的取值范圍是(－∞，－2)∪(－，1）

答案：C

二、

2.解析：由已知b＞a²∵f(x)，g(x)均為奇函數，∴f(x)＜0的解集是(－b，－a²)，g(x)＜0的解集是(－).由f(x)?g(x)＞0可得：

∴x∈(a²，)∪(－，－a²)

答案：(a²，)∪(－，－a²)

3.解析：原方程可化為cos²x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t²－2t－a－1=0，原問題轉化為方程t²－2t－a－1=0在［－1，1］上至少有一個實根.令f(t)=t²－2t－a－1，對稱軸t=1，畫圖象分析可得解得a∈［－2，2］.

答案：［－2，2］

三、

4.解：(1)∵適合不等式|x²－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值為3，

∴x－3≤0，∴|x－3|=3－x.

若|x²－4x+p|=－x²+4x－p，則原不等式為x²－3x+p+2≥0，其解集不可能為{x|x≤3}的子集，∴|x²－4x+p|=x²－4x+p.

∴原不等式為x²－4x+p+3－x≤0，即x²－5x+p－2≤0，令x²－5x+p－2=(x－3)(x－m)，可得m=2，p=8.

(2)f(x)=，∴f^-－1(x)=log₈ (－1＜x＜1，

∴有l(wèi)og₈＞log₈，∴l(xiāng)og₈(1－x)＜log₈k，∴1－x＜k，∴x＞1－k.

∵－1＜x＜1，k∈R⁺，∴當0＜k＜2時，原不等式解集為{x|1－k＜x＜1}；當k≥2時，原不等式的解集為{x|－1＜x＜1.

5.解：由f(1)=得a+b+c=，令x²+=2x²+2x+x=－1，由f(x)≤2x²+2x+推得

f(－1)≤.

由f(x)≥x²+推得f(－1)≥，∴f(－1)=，∴a－b+c=，故

2(a+c)=5，a+c=且b=1，∴f(x)=ax²+x+(－a).

依題意：ax²+x+(－a)≥x²+對一切x∈R成立，

∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)²≤0，

∴f(x)=x²+x+1

易驗證：x²+x+1≤2x²+2x+對x∈R都成立.

∴存在實數a=，b=1，c=1，使得不等式：x²+≤f(x)≤2x²+2x+對一切x∈R都成立.

6.解：(1)∵－1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，即當x∈［－1，1］時，f(x)≤0，當x∈［1，3］時，f(x)≥0，∴當x=1時f(x)=0.∴1+p+q=0，∴q=－(1+p)

(2)f(x)=x²+px－(1+p)，

當sinθ=－1時f(－1)≤0，∴1－p－1－p≤0，∴p≥0

(3)注意到f(x)在［1，3］上遞增，∴x=3時f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p－1－p=14，∴p=3.

此時，f(x)=x²+3x－4，即求x∈［－1，1］時f(x)的最小值.又f(x)=(x+)²－，顯然此函數在［－1，1］上遞增.

∴當x=－1時f(x)有最小值f(－1)=1－3－4=－6.

7.解：(1)當a＞1時，原不等式等價于不等式組

由此得1－a＞.因為1－a＜0，所以x＜0，∴＜x＜0.

(2)當0＜a＜1時，原不等式等價于不等式組：                     

由 ①得x＞1或x＜0，由②得0 ＜x＜，∴1＜x＜.

綜上，當a＞1時，不等式的解集是{x|＜x＜0，當0＜a＜1時，不等式的解集為{x|1＜x＜}.

8.解：由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x²)＞f(m+2)，x∈(0，1恒成立.

在x∈(0，1恒成立.

整理，當x∈(0，1)時，恒成立，即當x∈(0，1時，恒成立，且x=1時，恒成立，

∵在x∈(0，1上為減函數，∴＜－1，

∴m＜恒成立m＜0.

又∵，在x∈(0，1上是減函數，?

∴＜－1.

∴m＞恒成立m＞－1當x∈(0，1)時，恒成立m∈(－1，0)①

當x=1時，，即是∴m＜0                                                 ②

∴①、②兩式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1時，f(3mx－1)＞f(1+mx－x²)＞f(m+2)恒成立，m的取值范圍是(－1，0)