岳口高中2009年三月月考高三數(shù)學(xué)(文)試題
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目的要求.
1.已知全集,則下列表示圖中陰影部分的集合( )
A. B. C. D.
2.一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后,組距與頻數(shù)如下;
3.若f(x)=lgx+1,則它的反函數(shù)的圖象是( )
5.非零向量=(sinθ,2), =(cosθ,1), 若與共線,則tan(θ-)=
A.3
B -
6.已知m , n 是直線, 是平面,給出下列命題:
(1) 若 , =m , mn, 則n或n
(2) 若∥ , =m , =n, 則m∥n
(3) 若=m, n∥m , 則n∥且n∥
(4) 若直線m不垂直于,則m也可能垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線
其中正確的命題序號(hào)為( )
A.⑴與⑵ B.⑵與⑷ C.⑶與⑷ D.⑴與⑶
7.過直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線,當(dāng)直線關(guān)于對稱時(shí),則直線之間的夾角為( )
A. B. C. D.
8.已知數(shù)列中,則函數(shù)的最大值是( )
A. 10
B. -
9.將正方體的六個(gè)面染色,有4種不同的顏色可供選擇,要求相鄰的兩個(gè)面不能染同一顏色,則不同的染色方法有( )
A.256種 B.144種 C.120種 D.96種
10. 若二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,與軸的交點(diǎn)P、Q位于軸的兩側(cè),以線段PQ為直徑的圓與軸交于和,則點(diǎn)所在曲線為
A 圓 B 橢圓 C 雙曲線 D 拋物線
二、填空題:本大題5小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中的橫線上.
12.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且是與的等差中項(xiàng),則數(shù)列的公比為
13. 已知矩形中,沿將矩形折成一個(gè)二面角則四面體的外接球的表面積為 .
14.已知點(diǎn)滿足,則(是坐標(biāo)圓點(diǎn))的最大值等于 .
15.對于拋物線C:y2=4x,我們稱滿足y02<4x0的點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部,若點(diǎn)M(x0, yo)在C的內(nèi)部,則直線l:y0y=2(x+x0)與拋物線C有 個(gè)公共點(diǎn)。
三、解答題:本大題共6個(gè)小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
已知向量=(cos x, 0),=(0,sin x),記函數(shù)f(x)=(+)2+sin 2x,
(1)求函數(shù)f(x)的最大值和取最小值;
(2)若不等式在上有解,求實(shí)屬t的取值范圍.
17.(本小題滿分12分)
一個(gè)口袋中裝有個(gè)紅球(≥5且)和5個(gè)白球,一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球,兩個(gè)球的顏色不同則為中獎(jiǎng).
(1)試用表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率;
(2)記從口袋中三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為。試問當(dāng)等于多少時(shí),的值最大?
18.(本小題滿分12分)
如圖:D、E分別是正三棱柱ABC-A1B
(1)求證:A1E∥平面BDC1.
(2)求二面角A1-BC1-B1的大小.
19.(本小題滿分12分)
設(shè)分別為橢圓 的左、右頂點(diǎn),橢圓長半軸的長等于焦距,且為它的右準(zhǔn)線。
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓上不同于的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線與橢圓右準(zhǔn)線相交于兩點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
21.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)的圖象過點(diǎn),且在內(nèi)單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(1)求的解析式;
(2)若對于任意的,不等式恒成立,試問這樣的是否存在.若存在,請求出的范圍,若不存在,說明理由;
一、選擇題:
1. C 2. D 3. A 4 . C 5. C 6. B 7. C 8. B 9. D 10. B
二、填空題:
11. -13 12. 13. 100π 14. 15. 0
三、解答題:
16. (1) f(x)=(+)2+sin 2x=3cos2x+sin2x+sin2x=2cos(2x-)+2
函數(shù)f(x)的最小值是0,f(x)的最大值是
(2) -1<t<
17.(1)一次摸獎(jiǎng)從個(gè)球中任取兩個(gè),有種方法。它們是等可能的,其中兩個(gè)球的顏色不同的方法有種,一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率 ……6分
(2)設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為,三次摸獎(jiǎng)中(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率是,
因而在上為增函數(shù),
在上為減函數(shù), ……9分
(用重要不等式確定p值的參照給分)
∴當(dāng)時(shí)取得最大值,即,解得或(舍去),則當(dāng)時(shí),三次摸獎(jiǎng)(每次摸獎(jiǎng)后放回)恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大. ……12分
18.【方法一】證明:在線段BC1上取中點(diǎn)F,連結(jié)EF、DF
則由題意得EF∥DA1,且EF=DA1,
∴四邊形EFDA1是平行四邊形
∴A1E∥FD,又A1E平面BDC1,F(xiàn)D平面BDC1
∴A1E∥平面BDC1 …6分
(2)由A1E⊥B
EH⊥BC1于H,連結(jié)A1H,則∠A1HE為二面角A1-BC1-B1的平面角 …8分
在Rt△BB
又A1E=2,∴tan∠A1HE==
∴二面角A1-BC1-B1為arctan …12分
【方法二】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,題意知B(-2,0,0),
D(2,40),A1(2,8,0), C1(0,8,2),B1(-2,8,0), E(-1,8,),
=(-4,-4,0), =(-2,4,2),=(-3,0, ),
=(-4,-8, 0), =(-2,0, 2),=(0,8,0),
=(2,8, 2).
(1)證明:∵=2(+)∴A1E∥平面BDC1 …6分
(2)設(shè)=(x,y,1)為平面A1BC1的一個(gè)法向量,則,且,即解得∴=(,,1),同理,設(shè)=(x,y,1)為平面B1BC1的一個(gè)法向量,則,且,即解得∴=(-,0,1),∴cos<,>==-
∴二面角A1-BC1-B1為arccos. …12分
19. (1)由題意,知a=
(2)設(shè)P(2cosθ, sinθ),M(4,m),N(4,n),則A(-2,0),B(2,0),
由A、P、M三點(diǎn)共線,得m=…7分
由B、P、N三點(diǎn)共線,得n=, …9分
設(shè)Q(t,0),則由得
(t-4)(t-4)+(0-)(0-)=0,
整理得:(t-4)2-9=0 解得t=1或t=7
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是(7,0)或(1,0). …12分
20.20.解:(1)
(2)
21.解: (1)∵,
由題設(shè)可知:即sinθ≥1 ∴sinθ=1. …4分
從而a= ,∴f(x)= x3+x2-2x+c,而又由f(1)= 得c=.
∴f(x)= x3+x2-2x+即為所求. …6分
(2)由=(x+2)(x-1),易知f(x)在(-∞,-2)及(1,+∞)上均為增函數(shù),在(-2,1)上為減函數(shù). …8分
①當(dāng)m>1時(shí),f(x)在[m,m+3]上遞增,故f(x)max=f(m+3), f(x)min=f(m)
由f(m+3)-f(m)= (m+3)3+(m+3)2-2(m+3)-m3-m2+
得-5≤m≤1.這與條件矛盾,故 …10分
② 當(dāng)0≤m≤1時(shí),f(x)在[m,1]上遞增, 在[1,m+3]上遞增
∴f(x)min=f(1), f(x)max=max{ f(m),f(m+3) },
又f(m+3)-f(m)=
∴f(x)max= f(m+3)∴|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min= f(m+3)-f(1)≤f(4)-f(1)= 恒成立. …12分
故當(dāng)0≤m≤1時(shí),原不等式恒成立.綜上,存在m且m∈[0,1]合題意. …13分
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