數(shù)學(xué)20分鐘專(zhuān)題突破27

函數(shù)與方程的思想

一.選擇題

1.若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿(mǎn)足，則有（    ）

A．          B．

C．          D．

2.于x的方程的兩根滿(mǎn)足，則k的取值范圍是（     ）

    A．        B．        C．           D．

3.，動(dòng)點(diǎn)在正方體的對(duì)角線(xiàn)上．過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線(xiàn)，與正方體表面相交于．設(shè)，，則函數(shù)的圖象大致是（    ）

二.填空題

1.設(shè)，若僅有一個(gè)常數(shù)c使得對(duì)于任意的，都有滿(mǎn)足方程，這時(shí)，的取值的集合為                  。

2.，若關(guān)于的方程有實(shí)根，則的取值范圍是       ．

3.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是         

三.解答題

3.、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).

（Ⅰ）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)定點(diǎn)，的直線(xiàn)與橢圓交于兩不同的點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn)的斜率的取值范圍.

答案：

一.擇題題

1. 解：因?yàn)?sub>，用替換得： 因?yàn)楹瘮?shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，所以，又

解得：，而單調(diào)遞增且，∴大于等于0，而，故選。

2. 解：設(shè)函數(shù)，∵關(guān)于x的方程的兩根滿(mǎn)足，∴即∴，故選擇。

3. 解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，由圖形的對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)始終是的中點(diǎn)，

而且隨著點(diǎn)從點(diǎn)向的中點(diǎn)滑動(dòng)，值逐漸增大到最大，再由中

點(diǎn)向點(diǎn)滑動(dòng)，而逐漸變小，排除，把向平面內(nèi)正投

影得，則=，由于，

∴，所以當(dāng)時(shí)，為一次函數(shù)，故選

二.填空題

1. 解：由已知，得（其中），函數(shù)為反比例函數(shù)，在（）上為單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，又因?yàn)閷?duì)于任意的，都有，所以，因?yàn)橛星抑挥幸粋�(gè)常數(shù)符合題意，所以，解得，所以的取值的集合為。

2. 解：方程即,利用絕對(duì)值的幾何意義,得，可得實(shí)數(shù)的取值范圍為

3. 解：構(gòu)造函數(shù)：．由于當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于在區(qū)間上函數(shù)的圖象位于軸下方，由于函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，故只需即，解得．

．

三.解答題

解：（Ⅰ）解法一：由橢圓方程知

所以　，設(shè)

則

又   ∴   

，故當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值     

當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值．

解法二：易知，所以，設(shè)

則

（以下同解法一）

（Ⅱ）顯然當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在即時(shí)，不滿(mǎn)足題設(shè)條件

可設(shè)的方程為，設(shè)，

聯(lián)立     得   

即  　               

∴　，

由

即     解得  　　   ①      

又為銳角

∴ 

∴ 

∴ 

∴　　　                  ②          

綜①、②可知　

∴　的取值范圍是．