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練習冊

練習冊
試題

2009大連市高三雙基考試

數學試卷（理科）

參考公式：

棱錐體積公式：（其中為棱錐的底面積，為棱錐的高）

一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1、集合，則=

　A． B. C.D.

2、在等差數列中，已知，則等于

A. 1003 B. 1004 C. 1005 D.1006

3、函數的一個單調減區(qū)間是

A. B. C. D.

4、已知函數定義域為，則一定為

A．非奇非偶函數 B. 奇函數 C. 偶函數 D.既奇又偶函數

5、二項展開式中的奇次冪項的系數之和為

A. B. C. D.

6、已知函數，則

A. B. C. D.

７、已知等腰直角，，,點是內部或邊界上一動點，是邊的中點，則的最大值為

A.4 B.5 C.6 D.7

8、已知數列（），則的最小值為

A．-19 B.-18 C.-17 D.-16

9、下列說法錯誤的是

A.已知命題為“”，則為“”

B. 若為假命題，則均為假命題

C. 的一個充分不必要條件是

D.“全等三角形的面積相等”的否命題是假命題

10、如圖，已知正方體棱長為1，點在線段上.當最大時，三棱錐的體積為

第１０題圖

11、已知拋物線與橢圓有相同的焦點，是兩曲線的一個交點，且軸，則橢圓的離心率為

A. B. C. D.

12、已知，則關于的方程有實根的概率為

A. B.

C. D.

第Ⅱ卷(非選擇題共90分)

二、填空題:（本大題共6小題，每小題4分，考生做答4題，滿分16分．其中15-18題是選做題.）

（一）必做題.

13、已知雙曲線的一個焦點在圓上，則雙曲線的漸近線方程為．

14、給出如圖所示的程序框圖，那么輸出的數是　　　　　　.

第１４題圖

（二）選做題(考生只需選做二題，如果多做，則按所做的前兩題記分).

15、（不等式選講選做題）不等式的解集為．

16、（坐標系與參數方程選講選做題）極坐標系中，點P到直線的距離是　　　　．

17、（幾何證明選講選做題）如圖，已知C在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，DC是ACB的平分線交AE于點F,交AB于D點，則ADF= ．

18、（矩陣選講選做題）矩陣的逆矩陣是．

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第１５題圖

三.解答題:本大題共6題,共74分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

１９、（本小題滿分12分）已知中，，角所對的邊分別是

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）若，求的最小值．

２０、（本小題滿分12分）如圖所示，三棱柱中，四邊形為菱形，，為等邊三角形，面面，分別為棱的中點

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

２１、（本小題滿分12分）已知盒中有大小相同的 3個紅球和t 個白球，從盒中一次性取出3個球，取到白球個數的期望為.若每次不放回地從盒中抽取一個球，一直到抽出所有白球時停止抽取，設為停止抽取時取到的紅球個數，

（Ⅰ）求白球的個數t；

（Ⅱ）求的數學期望.

２２、（本小題滿分12分）已知數列的前項和為，且，

（Ⅰ）求證：是等差數列；

（Ⅱ）求.

２３、（本小題滿分12分）已知可行域的外接圓C與軸交于點A₁、A₂，橢圓C₁以線段A₁A₂為短軸，離心率

（Ⅰ）求圓C及橢圓C₁的方程；

（Ⅱ）過橢圓C₁上一點P(不在坐標軸上)向圓C引兩條切線PA、PB、A、B為切點，直線AB分別與x軸、y軸交于點M、N．求△MON面積的最小值．（O為原點）．

２４、（本小題滿分1４分）已知函數（常數）

（Ⅰ）討論函數在定義域上的單調性；

（Ⅱ）當函數有極值時，求證：函數所有極值之和小于．

2009大連市高三雙基考試

一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

A

C

B

D

C

B

A

Ｂ

Ｄ

Ａ

二、填空題

13．　　　 14. 7500 　　　 15. （-1，1）

16. 　　　　　�。保罚�45^o 　　　　　　　　１８．

三、解答題

１９解：（Ⅰ）

┅┅┅┅┅┅┅４分

因為，所以，所以，

即的取值范圍為┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）因為，所以┅┅┅┅┅┅┅８分

所以的最小值為，當即為等邊三角形時取到. ┅┅┅┅┅┅┅１2分

２０（Ⅰ）證明（方法一）取中點，連接，因為分別為中點，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為，所以面；┅┅┅┅┅┅┅６分

（方法二）取中點，連接，

因為分別為中點，所以

又因為分別為中點，所以┅┅┅┅┅┅┅３分

且，

所以面面，

又面，所以面┅┅┅┅┅┅６分

（方法三）取中點，連接，

由題可得，又因為面面，

所以面，又因為菱形中，所以.

可以建立如圖所示的空間直角坐標系

┅┅┅┅┅┅┅7分

不妨設，

可得，

，，，，所以

所以，┅┅┅┅┅┅┅9分

設面的一個法向量為，則，不妨取，則，所以，又因為面，所以面.

┅┅┅┅┅┅┅12分

（Ⅱ）（方法一）

過點作的垂線交于，連接.

因為，

所以，所以面，

所以為二面角的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分

因為面面，所以點在面上的射影落在上，所以，

所以，不妨設，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分

所以，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅12分

（方法二）由（Ⅰ）方法三可得，設面的一個法向量為，則，不妨取，則.

┅┅┅┅┅┅┅８分

又，設面的一個法向量為，則，不妨取，則.┅┅┅┅┅┅┅１０分

所以，因為二面角為銳角，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅１2分

２１解：

（Ⅰ）從盒中一次性取出三個球，取到白球個數的分布列是超幾何分布，┅┅┅┅┅┅┅１分

所以期望為，所以，即盒中有 3個紅球，2 個白球．┅┅┅┅┅┅┅３分

（Ⅱ）由題可得的取值為0，1，2，3.

,=,,

所以的分布列為

0

1

2

3

P

┅┅┅┅┅┅┅１１分

E =

答：紅球的個數為2，的數學期望為2　　　　┅┅┅┅┅┅┅１2分

２２解：（Ⅰ）由可得，┅┅┅┅┅┅┅2分

即，所以，┅┅┅┅┅┅┅４分

又，所以，

所以是等差數列，首項為，公差為1┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即┅┅┅┅┅┅┅７分

令 ①

則 ②┅┅┅┅┅┅９分

①-②可得

所以，所以┅┅１2分

２３解：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以及點為頂點的三角形，

∵，∴為直角三角形， ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圓C以原點O為圓心，線段A₁A₂為直徑，故其方程為．

∵2b=4，∴b=2．又，可得．

∴所求橢圓C₁的方程是． ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，OA的斜率為，則PA的斜率為，則PA的方程為：化簡為：，

同理PB的方程為 ┅┅┅┅┅┅┅6分

又PA、PB同時過P點，則x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，

∴AB的直線方程為：x₀x+y₀y=4 ┅┅┅┅┅┅┅8分

（或者求出以OP為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程）

從而得到、

所以 ┅┅┅┅┅┅┅8分

當且僅當. ┅┅┅┅┅┅┅12分

（或者利用橢圓的參數方程、函數求最值等方法求的最大值）

２４解：（Ⅰ）┅┅┅┅┅┅┅2分

①當，即，在上有，所以在單調遞增；┅┅┅┅┅┅┅４分

②當，即，當時，在上有，所以在單調遞增；當時，在上有，所以在單調遞增；┅┅┅┅┅┅┅６分

③當，即

當時，函數對稱軸在y軸左側，且，所以在上有，所以在單調遞增；┅┅┅┅┅┅┅８分

當時，函數對稱軸在右側，且，

兩個根分別為，所以在上有，即在單調遞增；在上有，即在單調遞減.

綜上：時，在單調遞增；時，在單調遞增，在單調遞減. ┅┅┅┅┅┅┅１０分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當時，有極大值，極小值，所以

，又因為，

┅┅┅１2分

所以

=

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