1. m和n都是正整數(shù)，a₁,a₂,...,a_m是{1,2,...,n}中不同的數(shù)，只要有a_i +a_j≤ n（i,j可能相同）那么就有某個(gè)k使a_i +a_j=a_k，

求證(a₁+...+a_m)/m≥(n+1)/2。

2. △ABC是等腰三角形，AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，O是線AM上的點(diǎn)且OB⊥AB，Q為線段BC上不同于B,C 的任意一點(diǎn)，E,F分別在AB,AC上使得E,Q,F不同并共線。

求證：OQ⊥EF當(dāng)且僅當(dāng)QE=QF。

3. 對(duì)任何正整數(shù)k，定義f(k)為集合{k+1,k+2,...,2k}中的用二進(jìn)制表示后恰有3個(gè)1的元素的個(gè)數(shù)，

求證對(duì)于每個(gè)正整數(shù)m，存在至少一個(gè)k使f(k)=m；并求出使得恰有一個(gè)k的所有m值。

4. 試求出所有的正整數(shù)對(duì)(m,n)使得(n³+1)/(mn-1)是整數(shù)。

5. S是所有大于-1的實(shí)數(shù)集，試找出所有的從S到S的函數(shù)f滿足對(duì)所有x,y,f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),并且對(duì)于-1<x<0和0<x，f(x)/x使嚴(yán)格遞增的。

6. 試證明存在滿足下列性質(zhì)的正整數(shù)集合A：對(duì)任何由素?cái)?shù)構(gòu)成的無限集S，都有k≥2以及兩個(gè)正整數(shù)m,n，m ∈A, n不∈A，m和n都是S中k個(gè)不同元素的乘積。