1.  圓內(nèi)接四邊形ABCD，現(xiàn)有一圓其圓心在邊AB上并于其他三邊相切，求證AD + BC = AB.

2. 設(shè) k<n 時互素的兩個正整數(shù)。將集合M = {1, 2, 3, ... , n-1} 中的每個數(shù)都染成藍(lán)色或白色，保證 i和n-i的顏色相同，對于不等于k的i其顏色又與|i-k|的顏色相同。求證：M中所有數(shù)的顏色都相同。

3.  P(x) = a₀ + a₁x + ... + a_kx^k 是整系數(shù)多項式，設(shè)其中系數(shù)為奇數(shù)的個數(shù)為o(P)。對于i = 0, 1, 2, ... ，記 Q_i(x) = (1 + x)ⁱ。求證如果i₁, i₂, ... , i_n都是整數(shù)并滿足0 <= i₁ < i₂ < ... < i_n，則有

o(Q_i1 + Q_i2 + ... + Q_in) >= o(Q_i1).

4.  集合M由 1985個不同的正整數(shù)組成，且每個數(shù)都有一個大于23的素因子，求證M中存在4個元素的積是某個整數(shù)的4次方。

5.  圓心為O的一個圓經(jīng)過三角形ABC的頂點A和C，并與AB,BC分別交于不同的兩點K、N，三角形ABC的外接圓和三角形KBN的外接圓相交于兩個不同的點B、M，求證角OMB是直角。

6.  對于任何一個實數(shù) x₁，可通過遞推式

x_n+1 = x_n(x_n + 1/n)

 構(gòu)造序列 x₁, x₂, ...，求證存在唯一的一個x₁ 滿足對所有的n都有 0 < x_n < x_n+1 < 1 成立。