1. m,n是滿足下述條件的正整數(shù):

m/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/1318 + 1/1319.

求證：m可被1979整除。

2.  一個棱柱的上底和下底分別是正五邊形A₁A₂A₃A₄A_5、B₁B₂B₃B₄B₅ 。這兩個正五邊形的每條邊以及每個 A_iB_j邊都被染上紅色或藍色。又已知每個邊都被著色的三角形（其頂點即這個棱柱的頂點）必有兩邊著不同色，求證：上、下底的十條邊都被染上了同一種顏色。

3.  平面上的兩個圓相交，A是其中一個交點�，F(xiàn)有兩質(zhì)點同時從A出發(fā)各自以恒定的速度，同以順時針方向或同以逆時針方向繞各自的圓移動，在繞過一周之后這兩點又同時回到了A點。求證：在這個平面上一定存在某個固定的點P使得在任意時刻P點都與這兩動點的距離相等。

4. 給定一平面k，在這個平面上有一點P，平面外有一點Q，試找出平面k上的所有的點R使得(QP + PR)/QR 為最大值。

5.  試求出所有的實數(shù)a，使得存在非負實數(shù)x₁, x₂, x₃, x₄, x₅滿足下列關系式：

x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ + 5x₅ = a；

x₁ + 2³x₂ + 3³x₃ + 4³x₄ + 5³x₅ = a²；

x₁ + 2⁵x₂ + 3⁵x₃ + 4⁵x₄ + 5⁵x₅ = a³。

6.  令A、E是一個正八邊形的兩相對頂點，一只青蛙從A點開始跳動，除了E點外，從八邊形中的其他每一個頂點都可以跳至與它相鄰兩頂點中的任何一個。當它跳到E點時就停止運動。設 a_n 為恰好經(jīng)過 n步跳動以后到達E點的所有可能線路的個數(shù)，求證：

      a_2n-1 = 0
      a_2n = (2 + √2)^n-1/√2 - (2 - √2)^n-1/√2。