1.  對(duì)任意正整數(shù) n，求證有無(wú)窮多個(gè)正整數(shù) m 使得 n⁴ + m 不是質(zhì)數(shù)。

2.  令 f(x) = cos(a₁ + x) + 1/2 cos(a₂ + x) + 1/4 cos(a₃ + x) + ... + 1/2^n-1 cos(a_n + x), 其中 a_i 是實(shí)數(shù)常量，x是實(shí)數(shù)變量。現(xiàn)已知 f(x₁) = f(x₂) = 0，求證 x₁ - x₂ 是 π 的整數(shù)倍。

3.  對(duì)每一個(gè)k = 1, 2, 3, 4, 5，試找出 a>0 應(yīng)滿足的充要條件使得存在一個(gè)四面體，其中 k個(gè)邊長(zhǎng)均為 a，其余 6-k個(gè)邊的長(zhǎng)度均為 1。

4. 以AB為直徑的半圓弧，C是其上不同于A、B的一點(diǎn)，D是C向AB作垂線的垂足。K₁ 是三角形ABC的內(nèi)切圓， 圓K₂ 與CD、DA以及半圓都相切，圓K₃ 與CD、DB及半圓相切。求證：圓K₁、 K₂ 、 K₃ 除AB外還有一條公切線。

5. 平面上已給定了 n>4個(gè)點(diǎn)，無(wú)三點(diǎn)共線。求證至少有 (n-3)(n-4)/2 個(gè)凸四邊形，其頂點(diǎn)都是已給點(diǎn)集中的點(diǎn)。

6.  給定實(shí)數(shù)x₁, x₂, y₁, y₂, z₁, z₂, 滿足 x₁ > 0, x₂ > 0, x₁y₁ > z₁², x₂y₂ > z₂²，求證：

8

≤

1

+

1

(x₁ + x₂)(y₁ + y₂) - (z₁ + z₂)²

x₁y₁ - z₁²

x₂y₂ - z₂²

并給出等號(hào)成立的充分必要條件。