1.（2003京春文11，理8）如圖9―1，在正三角形ABC中，D，E，F分別為各邊的中點(diǎn)，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點(diǎn).將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為（    ）

A.90°                             B.60°

C.45°                                     D.0°

2.（2003上海春，13）關(guān)于直線a、b、l及平面M、N，下列命題中正確的是（    ）

A.若a∥M，b∥M，則a∥b

B.若a∥M，b⊥a，則b⊥M

C.若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，則l⊥M

D.若a⊥M，a∥N，則M⊥N

3.（2002北京春，2）已知三條直線m、n、l，三個(gè)平面α、β、γ.下面四個(gè)命題中，正確的是（    ）

A.α∥β                            B.l⊥β

C.m∥n                                D.m∥n

4.（2002北京文，4）在下列四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是（    ）

5.（2002上海，14）已知直線l、m，平面α、β，且l⊥α，m?β，給出下列四個(gè)命題：

（1）若α∥β，則l⊥m  （2）若l⊥m，則α∥β      （3）若α⊥β，則l∥m 

（4）若l∥m，則α⊥β

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（    ）

A.1               B.2               C.3               D.4

6.（2002京皖春，7）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如圖9―2），若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（    ）

A.π                 B.π                     C.π                 D.π

7.（2002京、皖、春，12）用一張鋼板制作一個(gè)容積為4 m³的無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱.可用的長(zhǎng)方形鋼板有四種不同的規(guī)格（長(zhǎng)×寬的尺寸如選項(xiàng)所示，單位均為m）若既要夠用，又要所剩最少，則應(yīng)選擇鋼板的規(guī)格是（    ）

A.2×5                 B.2×5.5                C.2×6.1               D.3×5

8.（2002全國(guó)文8，理7）一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，那么，這個(gè)圓錐軸截面頂角的余弦值是（    ）

A.                     B.                        C.                      D.－

9.（2002北京文5，理4）64個(gè)直徑都為的球，記它們的體積之和為V_甲，表面積之和為S_甲；一個(gè)直徑為a的球，記其體積為V_乙，表面積為S_乙，則（    ）

A.V_甲＞V_乙且S_甲＞S_乙                            B.V_甲＜V_乙且S_甲＜S_乙

C.V_甲=V_乙且S_甲＞S_乙                              D.V_甲=V_乙且S_甲=S_乙

10.（2002北京理，10）設(shè)命題甲：“直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，平面ACB₁與對(duì)角面BB₁D₁D垂直”；命題乙：“直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁是正方體”.那么，甲是乙的（    ）

A.充分必要條件  

B.充分非必要條件

C.必要非充分條件  

D.既非充分又非必要條件

11.（2002全國(guó)理，8）正六棱柱ABCDEF―A₁B₁C₁D₁E₁F₁的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線E₁D與BC₁所成的角是（    ）

A.90°                      B.60°                       C.45°                       D.30°

12.（2001上海，15）已知a、b為兩條不同的直線,α、β為兩個(gè)不同的平面，且a⊥α,

b⊥β，則下列命題中的假命題是（    ）

A.若a∥b，則α∥β

B.若α⊥β，則a⊥b

C.若a、b相交，則α、β相交

D.若α、β相交，則a、b相交

 13.（2001京皖春，11）圖9―3是正方體的平面展開圖．在這個(gè)正方體中，

①BM與ED平行 

②CN與BE是異面直線 

③CN與BM成60°角 

④DM與BN垂直

以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（    ）

A.①②③                                                        B.②④

C.③④                                                     D.②③④

14.（2001全國(guó)文，3）若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的全面積是（    ）

A.3π                B.3π                  C.6π                        D.9π

15.（2001全國(guó)，11）一間民房的屋頂有如圖9―4三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積分別為P₁、P₂、P₃.

圖9―4

若屋頂斜面與水平面所成的角都是α，則（    ）

A.P₃＞P₂＞P₁                                                                                                                B.P₃＞P₂＝P₁

C.P₃＝P₂＞P₁                                                                                                                 D.P₃＝P₂＝P₁

16.（2001全國(guó)，9）在正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，若AB＝BB₁，則AB₁與C₁B所成的角的大小為（    ）

A.60°                      B.90°                      C.105°                    D.75°

17.（2001京皖春，9）如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是（    ）

A.30°                      B.45°                      C.60°                      D.90°

18.（2000上海，14）設(shè)有不同的直線a、b和不同的平面α、β、γ，給出下列三個(gè)命題：

（1）若a∥α，b∥α，則a∥b．  （2）若a∥α，a∥β，則α∥β． 

（3）若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β．

其中正確的個(gè)數(shù)是（    ）

A.0                           B．1                         C．2                         D．3

19.（2000京皖春，5）一個(gè)圓錐的底面直徑和高都同一個(gè)球的直徑相等，那么圓錐與球的體積之比是（    ）

A.1∶3                  B.2∶3                  C.1∶2                  D.2∶9

20.（2000全國(guó)，3）一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是（    ）

A.2               B.3               C.6                    D.

21.（2000全國(guó)文，12）如圖9―5，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（    ）

A.                                             B.

C.                                              D.

22.（2000全國(guó)理，9）一個(gè)圓柱的側(cè)面積展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（    ）

A.                                        B.

C.                                        D.

23.（1999全國(guó)，7）若干毫升水倒入底面半徑為2 cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6 cm.若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是（    ）

A.6cm                                     B．6 cm   

C.2cm                                    D.3cm

24.（1999全國(guó)，12）如果圓臺(tái)的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面把圓臺(tái)分為上、下兩個(gè)圓臺(tái)，它們的側(cè)面積的比為1∶2，那么R等于（    ）

A.10                         B.15                         C.20                         D.25

25.（1999全國(guó)理，10）如圖9―6，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積是（    ）

A.                                                B.5

C.6                                                 D.

26.（1998全國(guó)，7）已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為（    ）

A.120°             B.150°             C.180°             D.240°

27.（1998全國(guó)，9）如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S、S′，中截面的面積是S₀，那么（    ）

A.                    B.

C.2S₀＝S＋S′                                D.S₀²＝2S′S

28.（1998全國(guó)，13）球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)這3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為4π，那么這個(gè)球的半徑為（    ）

A.4              B.2               C.2                    D.

29.（1998上海）在下列命題中，假命題是（    ）

A.若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任一直線，則α⊥β

B.若平面α內(nèi)任一直線平行于平面β，則α∥β

C.若平面α⊥平面β，任取直線lα，則必有l⊥β

D.若平面α∥平面β，任取直線lα，則必有l∥β

30.（1997全國(guó)，8）長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別是3、4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是（    ）

A.20π               B.25π               C.50π                         D.200π

31.（1997全國(guó)，12）圓臺(tái)上、下底面積分別為π、4π，側(cè)面積為6π，這個(gè)

圓臺(tái)的體積是（    ）

A.                 B.2π                  C.              D.

32.（1996全國(guó)理，14）母線長(zhǎng)為1的圓錐體積最大時(shí)，其側(cè)面展開圖圓心角等于（    ）

A.π             B.π              C.π         D.π

33.（1996全國(guó)文12，理9）將邊長(zhǎng)為a的正方體ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得BD＝a，則三棱錐D―ABC的體積為（    ）

A.                       B.                       C.           D.

34.（1996全國(guó)文7，理5）如果直線l、m與平面α、β、γ滿足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有（    ）

A.α⊥γ且l⊥m                                          B.α⊥γ且m∥β  

C.m∥β且l⊥m                                           D.α∥β且α⊥γ

35.（1996上海，4）在下列命題中，真命題是（    ）

A.若直線m、n都平行于平面α，則m∥n

B.設(shè)α―l―β是直二面角，若直線m⊥l，則m⊥β

C.若直線m、n在平面α內(nèi)的射影依次是一個(gè)點(diǎn)和一條直線，且m⊥n，則n在α內(nèi)或n與α平行

D.設(shè)m、n是異面直線，若m與平面α平行，則n與α相交

36.（1996全國(guó)文，10）圓錐母線長(zhǎng)為1，側(cè)面展開圖的圓心角為240°，該圓錐的體積等于（    ）

A.π                                     B.π  

C.π                                      D.π

37.（1995全國(guó)文，10）如圖9―7，ABCD―A₁B₁C₁D₁是正方體，B₁E₁＝D₁F₁＝，則BE₁與DF₁所成角的余弦值是（    ）

A.                                       B.

C.                                       D.

38.（1995全國(guó)，4）正方體的全面積是a²，它的頂點(diǎn)都在球面上，這個(gè)球的表面積是（    ）

A.                     B.                     C.2πa²                     D.3πa²

39.（1995上海，4）設(shè)棱錐的底面面積為8 cm²，那么這個(gè)棱錐的中截面（過(guò)棱錐高的中點(diǎn)且平行于底面的截面）的面積是（    ）

A.4　cm²                  B.2 cm²             C.2 cm²                     D.  cm²

40.（1995全國(guó)理，10）已知直線l⊥平面α，直線m平面β，有下面四個(gè)命題：

①α∥βl⊥m；  ②α⊥βl∥m；  ③l∥mα⊥β；④l⊥mα∥β

其中正確的兩個(gè)命題是（    ）

A.①②                      B.③④                       C.②④                       D.①③

41.（1995全國(guó)理，15）如圖9―8，A₁B₁C₁―ABC是直三棱柱，

∠BCA=90°，點(diǎn)D₁、F₁分別是A₁B₁、A₁C₁的中點(diǎn)，若BC=CA=CC₁，則BD₁與AF₁所成角的余弦值是（    ）

A.                                                        B.

C.                                                         D.

42.（1994全國(guó)，11）對(duì)于直線m、n和平面α、β，α⊥β的一個(gè)充分條件是（    ）

A.m⊥n，m∥α，n∥β                                  B.m⊥n，α∩β＝m，nα

C.m∥n，n⊥β，mα                          D.m∥n，m⊥α，n⊥β

43.（1994上海，14）已知a、b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b（    ）

A.一定是異面直線                                          B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線                                D.不可能是相交直線

44.（1994全國(guó)，7）已知正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，高為2，則其體積為（    ）

A.32                   B.28                    C.24                   D.20

45.（1994全國(guó)，13）已知過(guò)球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，則球面面積是（    ）

A.                     B.                    C.4π                     D.π

46.（2003京春理13，文14）如圖9―9，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則=      .

圖9―9

47.（2003上海春，10）若正三棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為1，則側(cè)面和底面所成二面角的大小等于      （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

48.（2002上海春，12）如圖9―10，若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)

M₁、M₂與點(diǎn)N₁、N₂，則三角形面積之比.若從點(diǎn)O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上，分別有點(diǎn)P₁、P₂，點(diǎn)Q₁、Q₂和點(diǎn)R₁、R₂，則類似的結(jié)論為           .

圖9―10                                       圖9―11

49.（2002京皖春，15）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成直二面角（如圖9―11所示）.M為矩形AEFD內(nèi)一點(diǎn)，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值為，那么點(diǎn)M到直線EF的距離為      .

50.（2002北京，15）關(guān)于直角AOB在定平面α內(nèi)的射影有如下判斷：①可能是0°的角；②可能是銳角；③可能是直角；④可能是鈍角；⑤可能是180°的角.其中正確判斷的序號(hào)是         （注：把你認(rèn)為是正確判斷的序號(hào)都填上）.

51.（2002上海春，10）圖9―12表示一個(gè)正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有      對(duì).

圖9―12

52.（2002上海，4）若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2 cm，體積為4 cm³，則它的側(cè)面與底面所成的二面角的大小是      .

53.（2001京皖春，16）已知m、n是直線，α、β、γ是平面，給出下列命題：

①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α或n⊥β；

②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則m∥n；

③若m不垂直于α，則m不可能垂直于α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線；

④若α∩β＝m，n∥m且nα，nβ，則n∥α且n∥β.

其中正確的命題序號(hào)是         （注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）.

54.（2001春季北京、安徽，13）已知球內(nèi)接正方體的表面積為S，那么球體積等于      ．

55.（2001全國(guó)理，13）若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是       .

56.（2000上海春，9）若兩個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5 cm、4 cm、3 cm，把它們兩個(gè)全等的面重合在一起組成大長(zhǎng)方體，則大長(zhǎng)方體的對(duì)角線最長(zhǎng)為_____cm.

57.（2000上海春，8）如圖9―13，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD與正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中點(diǎn)，則AE與平面BCD所成角的大小為_____.

58.（2000年春季北京、安微，18）在空間，下列命題正確的是_____（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）.

①如果兩直線a、b分別與直線l平行，那么a∥b.

②如果直線a與平面β內(nèi)的一條直線b平行，那么a∥β.

③如果直線a與平面β內(nèi)的兩條直線b、c都垂直，那么a⊥β.

④如果平面β內(nèi)的一條直線a垂直平面γ，那么β⊥γ.

59.（2000春季北京、安徽，16）如圖9―14是一體積為72的正四面體，連結(jié)兩個(gè)面的重心E、F，則線段EF的長(zhǎng)是_____.

60.（2000全國(guó)，16）如圖9―15（1），E、F分別為正方體的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，則四邊形BFD₁E在該正方體的面上的射影可能是圖9―15（2）的      （要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）.

圖9―14                      圖9―15（1）

圖9―15（2）

61.（2000上海，7）命題A：底面為正三角形，且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐．

命題A的等價(jià)命題B可以是：底面為正三角形，且        的三棱錐是正三棱錐．

62.（1999全國(guó)，18）α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個(gè)論斷：

①m⊥n  ②α⊥β  ③n⊥β  ④m⊥α

以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：    .

63.（1998全國(guó)，18）如圖9―16，在直四棱柱A₁B₁C₁D₁―ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?i>ABCD滿足條件       （或任何能推導(dǎo)出這個(gè)條件的其他條件，例如ABCD是正方形、菱形等）時(shí)，有A₁C⊥B₁D₁（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）.

64.（1998上海）棱長(zhǎng)為2的正四面體的體積為      .

65.（1997全國(guó)，19）已知m、l是直線，α、β是平面，給出下列命題

①若l垂直于α內(nèi)的兩條相交直線，則l⊥α

②若l平行于α，則l平行于α內(nèi)的所有直線

③若mα，lβ，且l⊥m，則α⊥β

④若lβ，且l⊥α，則α⊥β

⑤若mα，lβ，且α∥β，則m∥l

其中正確的命題的序號(hào)是_____（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）.

66.（1997上海）圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑為5 cm，兩個(gè)直徑為5 cm的玻璃小球都浸沒于容器的水中，若取出這兩個(gè)小球，則容器的水面將下降_____ cm.

67.（1996上海，18）把半徑為3 cm、中心角為π的扇形卷成一個(gè)圓錐形容器，這個(gè)容器的容積為     cm³（結(jié)果保留π）.

68.（1996上海，18）如圖9―17，在正三角形ABC中，E、F依次是AB、AC的中點(diǎn)，AD⊥BC，EH⊥BC，FＧ⊥BC，D、H、G為垂足，若將正三角形ABC繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐的體積為V，則其中由陰影部分所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積與V的比值是          .

圖9―17              圖9―18

69.（1996全國(guó)，19）如圖9―18，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60°的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是_____.

70.（1995全國(guó)，17）已知圓臺(tái)上、下底面圓周都在球面上，且下底面過(guò)球心，母線與底面所成的角為，則圓臺(tái)的體積與球體積之比為_____.

71.（1995上海理）把圓心角為216°，半徑為5分米的扇形鐵皮焊成一個(gè)圓錐形容器（不計(jì)焊縫），那么容器的容積是_____.

72.（1994全國(guó)，19）設(shè)圓錐底面圓周上兩點(diǎn)A、B間的距離為2，圓錐頂點(diǎn)到直線AB的距離為，AB和圓錐的軸的距離為1，則該圓錐的體積為_____.

73.（1994上海）有一個(gè)實(shí)心圓錐體的零部件，它的軸截面是邊長(zhǎng)為10 cm的等邊三角形，現(xiàn)在要在其整個(gè)表面上鍍一層防腐材料，已知每平方厘米的工料價(jià)為0.10元，則需要的費(fèi)用為_____元（π取3.2）.

74.（2003京春文，19）如圖9―19，ABCD―A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，側(cè)棱長(zhǎng)為1，底面邊長(zhǎng)為2，E是棱BC的中點(diǎn).

（Ⅰ）求三棱錐D₁―DBC的體積；

（Ⅱ）證明BD₁∥平面C₁DE；

（Ⅲ）求面C₁DE與面CDE所成二面角的正切值.

圖9―19                        圖9―20

75.（2003京春理，19）如圖9―20，正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4.E，F分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，EF∩BD=G.

（Ⅰ）求證：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；

（Ⅱ）求點(diǎn)D₁到平面B₁EF的距離d；

（Ⅲ）求三棱錐B₁―EFD₁的體積V.

76.（2002京皖春文，19）在三棱錐S―ABC中，∠SAB=∠SAC=

∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5.（如圖9―21）

（Ⅰ）證明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大�。�

（Ⅲ）求三棱錐的體積V_S－ABC.

77.（2002京皖春理，19）在三棱錐S―ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.

（Ⅰ）證明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大�。�

（Ⅲ）求異面直線SC與AB所成的角的大小（用反三角函數(shù)表示）.

圖9―22                 圖9―23

78.（2002全國(guó)文，19）四棱錐P―ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PB⊥面ABCD，如圖9―22所示.

（Ⅰ）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個(gè)四棱錐的體積；

（Ⅱ）證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°.

79.（2002北京文，18）如圖9―23，在多面體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h.

（Ⅰ）求側(cè)面ABB₁A₁與底面ABCD所成二面角的正切值；

（Ⅱ）在估測(cè)該多面體的體積時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用近似公式V_估=S_中截面?h來(lái)計(jì)算.已知它的體積公式是V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），試判斷V_估與V的大小關(guān)系，并加以證明.

（注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面）

80.（2002北京理，18）如圖9―24，在多面體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于E，F兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h.

（Ⅰ）求側(cè)面ABB₁A₁與底面ABCD所成二面角的大��；

（Ⅱ）證明：EF∥面ABCD；

（Ⅲ）在估測(cè)該多面體的體積時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用近似公式V_估=S_中截面?h來(lái)計(jì)算.已知它的體積公式是V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），

試判斷V_估與V的大小關(guān)系，并加以證明.

（注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面）

81.（2002全國(guó)文，22）（Ⅰ）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖（1），圖（2）），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖（1）、圖（2），并作簡(jiǎn)要說(shuō)明；

（Ⅱ）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大��；

圖9―25

82.（2002全國(guó)理，18）如圖9―26，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a（0＜a＜）.

（Ⅰ）求MN的長(zhǎng)；

（Ⅱ）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最�。�

（Ⅲ）當(dāng)MN長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大小.

圖9―26                      圖9―27

83.（2001春季北京、安徽，19）如圖9―27，已知VC是△ABC所在平面的一條斜線，點(diǎn)N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上.AB＝a，VC與AB之間的距離為h，點(diǎn)M∈VC.

（Ⅰ）證明∠MDC是二面角M―AB―C的平面角；

（Ⅱ）當(dāng)∠MDC＝∠CVN時(shí)，證明VC⊥平面AMB；

（Ⅲ）若∠MDC＝∠CVN＝θ（0＜θ＜），求四面體MABC的體積.

84.（2001上海，19）在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC―O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF．

（Ⅰ）求證：A′F⊥C′E；

（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B′―BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B′―EF―B的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

85.（2001全國(guó)理17，文18）如圖9―28，在底面是直角梯形的四棱錐S―ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.

（Ⅰ）求四棱錐S―ABCD的體積；

（Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.

86.（2000京皖春理20,文21）在直角梯形ABCD中，如圖9―29，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝AB＝a（如圖（1）），將△ADC沿AC折起，使D到D′，記面ACD′為α，面ABC為β，面BCD′為γ．

圖9―29

（Ⅰ）若二面角α―AC―β為直二面角（如圖（2）），求二面角β―BC―γ的大小；

（Ⅱ）若二面角α―AB―β為60°（如圖（3）），求三棱錐D′―ABC的體積．

87.（2000全國(guó)理，18）如圖9―30，已知平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD＝60°．

（Ⅰ）證明：C₁C⊥BD；

（Ⅱ）假定CD＝2，CC₁＝，記面C₁BD為α，面CBD為β，求二面角α―BD―β的平面角的余弦值；

（Ⅲ）當(dāng)的值為多少時(shí)，能使A₁C⊥平面C₁BD？請(qǐng)給出證明．

圖9―30                             圖9―31

88.（2000全國(guó)文，19）如圖9―31，已知平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD．

（Ⅰ）證明：C₁C⊥BD；

（Ⅱ）當(dāng)的值為多少時(shí)，能使A₁C⊥平面C₁BD?請(qǐng)給出證明．

89.（2000上海，18）如圖9―32所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成的角大小為arccos，求四面體ABCD的體積．

圖9―32                      圖9―33

90.（1999全國(guó)文22，理21）如圖9―33，已知正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁，點(diǎn)E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB＝a.

（Ⅰ）求截面EAC的面積；

（Ⅱ）求異面直線A₁B₁與AC之間的距離；

（Ⅲ）求三棱錐B₁－EAC的體積.

91.（1998全國(guó)理，23）已知如圖9―34，斜三棱柱ABC―A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C.

（Ⅰ）求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成角的大��；

（Ⅱ）求側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求頂點(diǎn)C到側(cè)面A₁ABB₁的距離.

圖9―34                                    圖9―35

92.（1998全國(guó)文，23）已知如圖9―35，斜三棱柱ABC―A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C.

（Ⅰ）求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大�。�

（Ⅲ）求側(cè)棱B₁B和側(cè)面A₁ACC₁的距離.

93.（1997全國(guó)，23）如圖9―36，正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：AD⊥D₁F；

（Ⅱ）求AE與D₁F所成的角；

（Ⅲ）證明：面AED⊥面A₁FD₁；

（Ⅳ）（理）設(shè)AA₁＝2，求三棱錐F―A₁ED₁的體積.

（文）設(shè)AA₁＝2，求三棱錐E―AA₁F的體積.

圖9―36                             圖9―37

94.（1997上海理）如圖9―37在三棱柱ABC―A′B′C′中，四邊形A′ABB′是菱形，四邊形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.

（1）求證：平面CA′B⊥平面A′AB；

（2）若C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60°，求AC′與平面BCC′所成的角的大小（用反三角函數(shù)表示）.

95.（1996上海，21）如圖9―38，在二面角α―l―β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中點(diǎn).

（1）求二面角α―l―β的大��；

（2）求證：MN⊥AB；

（3）求異面直線PA與MN所成角的大小.

圖9―38                             圖9―39

96.（1995全國(guó)文24，理23）如圖9―39，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，AF⊥DE，F是垂足.

（Ⅰ）求證：AF⊥DB；

（Ⅱ）（理）如果圓柱與三棱錐D―ABE的體積比等于3π，求直線DE與平面ABCD所成的角.

（文）求點(diǎn)E到截面ABCD的距離.

97.（1995上海，23）如圖9―40，四棱錐P―ABCD中，底面是一個(gè)矩形，AB＝3，AD＝1，又PA⊥AB，PA＝4，∠PAD＝60°.

（Ⅰ）求四棱錐P―ABCD的體積；

（Ⅱ）求二面角P―BC―D的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）.

圖9―40                             圖9―41

98.（1994全國(guó)，23）如圖9―41，已知A₁B₁C₁―ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：AB₁∥平面DBC₁；

（Ⅱ）（理）假設(shè)AB₁⊥BC₁，求以BC₁為棱的DBC₁與CBC₁為面的二面角α的度數(shù).

（文）假設(shè)AB₁⊥BC₁，BC＝2，求線段AB₁在側(cè)面B₁BCC₁上的射影長(zhǎng).

99.（1994上海，23）如圖9―42在梯形ABCD中，AD∥BC，

∠ABC＝，AB＝a，AD＝3a，且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，PA=a.

求（1）二面角P―CD―A的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）.

（2）點(diǎn)A到平面PBC的距離.

●答案解析

1.答案：B

解析：將三角形折成三棱錐如圖9―43所示.HG與IJ為一對(duì)異面直線.過(guò)點(diǎn)D分別作HG與IJ的平行線，即DF與AD.所以∠ADF即為所求.因此，HG與IJ所成角為60°.

評(píng)述：本題通過(guò)對(duì)折疊問(wèn)題處理考查空間直線與直線的位置關(guān)系，在畫圖過(guò)程中正確理解已知圖形的關(guān)系是關(guān)鍵.通過(guò)識(shí)圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力.而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向.

2.答案：D

解析：A選項(xiàng)中，若a∥M，b∥M，則有a∥b或a與b相交或a與b異面.B選項(xiàng)中，b可能在M內(nèi)，b可能與M平行，b可能與M相交.C選項(xiàng)中須增加a與b相交，則l⊥M.

D選項(xiàng)證明如下：∵a∥N，過(guò)a作平面α與N交于c，則c∥a，∴c⊥M.故M⊥N.

評(píng)述：本題考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的基本性質(zhì).

3.答案：D

解析：垂直于同一平面的兩直線必平行，因此選D.

評(píng)述：判斷元素之間的位置關(guān)系問(wèn)題，也可以從元素之間所有關(guān)系分析入手，再否定若干選項(xiàng).如A，因?yàn)?i>α、β有兩種位置關(guān)系，在α與β相交情況下，仍有α⊥r，β⊥r.因此，α∥β是錯(cuò)誤的.

4.答案：A

解析：∵CD在平面BCD內(nèi)，AB是平面BCD的斜線，由三垂線定理可得A.

5.答案：B

解析：（1）、（4）是正確命題.因?yàn)?i>α∥β，l⊥α，∴l⊥β.

又mβ，∴l⊥m.因?yàn)?i>l∥m，l⊥α，∴m⊥α，∴β⊥α.

6.答案：D

解析：如圖9―44，該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐C―ADE與圓錐B―ADE體積之差

又∵求得AB=1

∴

7.答案：C

解析：設(shè)該長(zhǎng)方體水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，∴x?y?z=4

∴原長(zhǎng)方形中用于制作水箱的部分的長(zhǎng)、寬應(yīng)分別為x+2z，y+2z

（如圖9―45中（2）所示）

從而通過(guò)對(duì)各選項(xiàng)的考查，確定C答案.

圖9―45

8.答案：C

解析：如圖9―46，作出軸截面，設(shè)公共底面圓的半徑為R，圓錐的高為h

∴V_錐=πR²h，V_半球=?πR³

∵V_錐=V_半球，∴h=2R  ∴tanα=

∴cosθ=

9.答案：C

解析：V_甲=64?π?（?）³=πa³，

S_甲=64?4π?（?）²=4πa²

V_乙=π（a?）³=πa³，S_乙=4π（a?）²=πa²

∴V_甲=V_乙，S_甲＞S_乙.

10.答案：C

解析：若命題甲成立，命題乙不一定成立，如底面為菱形時(shí).

若命題乙成立，命題甲一定成立.

11.答案：B

解析：連結(jié)FE₁、FD，則由正六棱柱相關(guān)性質(zhì)得FE₁∥BC₁.

在△EFD中，EF=ED=1，∠FED=120°，∴FD=.

在Rt△EFE₁和Rt△EE₁D中，易得E₁F=E₁D=.

∴△E₁FD是等邊三角形.∴∠FE₁D=60°.

∴BC₁與DE₁所成的角為60°.

評(píng)述：本題主要考查正六棱柱的性質(zhì)及異面直線所成的角的求法.

12.答案：D

解析：①∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，又∵b⊥β，∴α∥β

②∵a⊥α，α⊥β  ∴a∥β或a∈β

又∵b⊥β  ∴b⊥a

③若α∥β，則a∥b

④若α、β相交，則a、b可能相交也可能異面，顯然D不對(duì).

13.答案：C

解析:展開圖可以折成如圖9―47的正方體,由圖可知①②不正確.

∴③④正確.

14.答案：A

解析：∵S＝absinθ

∴a²sin60°＝   ∴a²＝4，a＝2，a=2r  ∴r＝1

S_全＝2πr＋πr²＝2π＋π＝3π

15.答案：D

解析：由S_底＝S_側(cè)cosθ可得P₁＝P₂

而P₃＝

又∵2（S₁＋S₂）＝S_底  ∴P₁＝P ₂＝P ₃

 16.答案：B

解析：如圖9―48，D₁、D分別為B₁C₁、BC中點(diǎn)，連結(jié)AD、D₁C，設(shè)BB₁＝1，則AB＝，則AD為AB₁在平面BC₁上的射影，又

∴DE²＝BE²＋BD²－2BE?BD?cosC₁BC

＝

而BE²＋DE²＝＝BD²

∴∠BED＝90°  ∴AB₁與C₁B垂直

17.答案：C

解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，依條件則有2πr＝πl，如圖9―49

∴，即∠ASO＝30°，因此圓錐頂角為60°.

18.答案：A

解析：（1）如果a，b是平面M中的兩條相交直線，面M∥α，

∴有a∥α，b∥α，但ab，所以（1）錯(cuò)．

（2）如果α∩β＝b，而a∥b，∴有a∥α，a∥β，但αβ，所以（2）錯(cuò)．

（3）如果α∩β＝b，而b⊥γ，∴有β⊥γ，α⊥γ，但αβ，（3）錯(cuò)．

19.答案：C

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為R，則V_圓錐＝πR³，V_球＝πR³，

∴V_圓錐∶V_球＝1∶2．

20.答案：D

解析：設(shè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三邊長(zhǎng)分別為a=1，b＝，c＝，則對(duì)角線l的長(zhǎng)為l=．

21.答案：D

解析：如圖9―50，由題意知，πr²h＝πR²h，

∴r＝．  又△ABO∽△CAO，

∴，∴OA²＝r?R＝，

∴cosθ＝．

22.答案：A

解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題設(shè)知h=2πr.

∴S_全=2πr²+（2πr）²=2πr²（1+2π）.S_側(cè)=h²=4π²r²，∴.

評(píng)述：本題考查圓柱的側(cè)面展開圖、側(cè)面積和全面積等知識(shí).

23.答案：B

解析：設(shè)水面半徑為x cm，

則水面高度為x cm

則由已知得：π?2²?6＝πx²?x

（x）³＝6³，x＝6.

評(píng)述：本題重點(diǎn)考查柱體、錐體的體積公式及靈活的運(yùn)算能力.

24.答案：D

解析：由已知得中截面圓的半徑r′＝.

設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，則中截面截圓臺(tái)所得上面小圓臺(tái)的母線長(zhǎng)l′＝，且上面小圓臺(tái)的側(cè)面積S′與圓臺(tái)側(cè)面積S之比為1∶3，由圓臺(tái)側(cè)面積公式得：

，解得R=25

評(píng)述：本題主要考查圓臺(tái)及其側(cè)面積公式，立足課本，屬送分題.

25.答案：D

解析：連EB、EC.四棱錐E―ABCD的體積V_E―ABCD=?3²?2=6.由于AB=2EF，EF∥AB，所以S_△EAB=2S_△BEF

∴V_F―EBC=V_C―EFB=V_C―ABE=V_E―ABC=?V_E―ABCD=

∴多面體EF―ABCD的體積V_EF―ABCD=V_E―ABCD+V_F―EBC=6+.

此題也可利用V_EF―ABCD＞V_E―ABCD=6.故選D.

評(píng)述：本題考查多面體體積的計(jì)算以及空間想象能力和運(yùn)算能力.

26.答案：C

解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，由已知得：πr²＋πrl＝3πr²，

∴θ＝×2π＝π.

評(píng)述：本小題考查圓錐的概念、性質(zhì)及側(cè)面積公式.

側(cè)面展開是立體問(wèn)題平面化的重要手段應(yīng)引起廣大考生的注意.

27.答案：A

解析：設(shè)該棱臺(tái)為正棱臺(tái)來(lái)解即可.

評(píng)述：本題考查棱臺(tái)的中截面問(wèn)題.根據(jù)選擇題的特點(diǎn)本題選用“特例法”來(lái)解，此種解法在解選擇題時(shí)很普遍，如選用特殊值、特殊點(diǎn)、特殊曲線、特殊圖形等等.

28.答案：B

解析：設(shè)球心為O，由題設(shè)知三棱錐O―ABC是正四面體，且△ABC的外接圓半徑是2，設(shè)球半徑為R，則R＝2，∴R＝2.

29.答案：C

解析：A中直線l⊥β，lα，所以α⊥β，A為真命題.B中，在α內(nèi)取兩相交直線，則此二直線平行于β，則α∥β，B為真命題.D為兩平面平行的性質(zhì)，為真命題.C為假命題，l只有在垂直交線時(shí)才有l⊥β，否則l不垂直β.故選C.

評(píng)述：本題考查平面與平面垂直、直線與平面平行的判定和性質(zhì).

30.答案：C

解析：長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑，于是（2R）²＝3²＋4²＋5²，R²＝，

則S_球＝4πR²＝4π?＝50π.

評(píng)述：本題考查長(zhǎng)方體、球的有關(guān)概念和性質(zhì).

31.答案：D

解析：由已知圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為1、2.由π（1＋2）l＝6π，得母線l=2，高h＝，其體積V＝?（π＋4π＋2π）＝.

32.答案：D

解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，

則2πr＝，h＝，V＝πr²h＝πr²，

于是

，

當(dāng)r²＝2－2r²，即r＝時(shí)，圓錐體積最大，此時(shí)＝2πr＝2π.

33.答案：D

解析：設(shè)AC與BD交點(diǎn)為E，先可判斷出△BDE是直角三角形，于是V_D－ABC＝.

34.答案：A

解析：由已知有α⊥γ，  又m⊥l，所以選A.

評(píng)述：本題考查兩個(gè)定理，即面面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理.要求對(duì)這些定理有較深理解，需學(xué)生有比較好的構(gòu)圖能力及空間想象力.才能很快地從4個(gè)選項(xiàng)中選出答案來(lái)，此題屬于考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本定理的題.

35.答案：C

解析：A顯然錯(cuò)誤，此時(shí)m與n可能平行，也可能相交或異面；

B也是錯(cuò)誤的，當(dāng)m⊥l，且mα時(shí)，才有m⊥β；

D也錯(cuò)誤，因m與n異面，m與α平行，n與α可能相交，也可能平行，也可能在平面α內(nèi)；故應(yīng)選C.

36.答案：C

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r,圓錐母線長(zhǎng)為1.又側(cè)面展開圖圓心角為240°,240°=π,得π×1=2πr，r=.得圓錐的高h=

所以，V_圓錐=πr²h=π.

37.答案：A

解析：這是兩條異面直線所成角的問(wèn)題，如圖9―51將DF₁平移至AG₁，A₁G₁＝，再將AG₁平移至EE₁，其中AE＝，B₁E₁＝，∠BE₁E即是異面直線BE₁與DF₁所成的角.

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為l，可求得EE₁＝BE₁＝，

EB＝，在△BEE₁中由余弦定理得

cosBE₁E＝

故應(yīng)選A.

評(píng)述：利用直線平移，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題來(lái)解決.“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，這種思想在近幾年的試題里明顯地、有意識(shí)地進(jìn)行了考查.

38.答案：B

解析：由已知正方體的對(duì)角線是球的直徑，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，球半徑為R，則

，于是球的表面積S＝4πR²＝4π?.

39.答案：C

解析：中截面的面積應(yīng)是底面面積的，即2 cm².

40.答案：D

解析：①是正確的，l⊥α，α∥β，則l⊥β，又mβ，所以l⊥m；③也是正確的，l⊥α，m∥l，則m⊥α，又mβ，所以α⊥β；②中，l與m可能相交或異面；④中，

α與β可能相交，只有①和③正確.故選D.

41.答案：A

解析：BD₁與AF₁是兩條異面直線.連結(jié)D₁F₁，又在BC上取中點(diǎn)E，連結(jié)EF₁，則

BE∥D₁F₁，且BE=D₁F₁，所以F₁E∥D₁B.因此，F₁A與F₁E所成的角就是BD₁與AF₁所成的角.

設(shè)BC=CA=CC₁=1，于是在△AF₁E中，可求得F₁A=，F₁E=D₁B=，EA=，由余弦定理可得：cosEF₁A=.故選A.

42.答案：C

解析：因?yàn)?i>m∥n，n⊥β，因此m⊥β，又由mα，所以α⊥β.故應(yīng)選C.

評(píng)述：通過(guò)畫圖判斷A、B、D不成立.選C.本題需要綜合靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)，是對(duì)能力有較高要求的題目.解答本題需要用到課本的知識(shí).解題時(shí)首先應(yīng)將符號(hào)語(yǔ)言翻譯成文字語(yǔ)言，弄懂題意，搞清選擇肢的內(nèi)容，然后畫出相應(yīng)的圖形，也就是將文字語(yǔ)言翻譯成圖形語(yǔ)言幫助思考.

43.答案：C

解析：由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c則a∥b與已知a、b為異面直線相矛盾，故應(yīng)選C.

44.答案：B

解析：正六棱臺(tái)上下底面面積分別為：

S_上＝6??2²＝6， 

S_下＝6??4²＝24，

V_臺(tái)＝.

45.答案：D

解析：如圖9―52，設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的截面和球的半徑分別為r、

R.截面圓心、球心分別為O′、O.

由已知AB＝BC＝CA＝2，r＝，OO′＝R，由R²＝r²＋OO′²，得R²＝，解得R²＝，

S_球＝4πr²＝π.

評(píng)述：本題重點(diǎn)考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式.

46.答案：

解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR²?r.恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有πr³=πR²r.故.

評(píng)述：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問(wèn)題的能力.

47.答案：arctan

解析：設(shè)棱錐的高為h，如圖9―53，則V=?4×4×sin60°?h=1，

∴h=.

D為BC中點(diǎn)，OD=AD=??4=.

易證∠PDO為側(cè)面與底面所成二面角的平面角

tanθ=.故θ=arctan

評(píng)述：本題考查三棱錐中的基本數(shù)量關(guān)系，考查二面角的概念及計(jì)算.

48.答案：

解析：

評(píng)述：用類比思想思考問(wèn)題在試題中多次出現(xiàn).

49.答案：

解析：過(guò)M作MO⊥EF，交EF于O，則MO⊥平面BCFE.

如圖9―54，作ON⊥BC，設(shè)OM=x，又tanMBO=，

∴BO=2x

又S_△MBE=BE?MB?sinMBE=BE?ME

S_△MBC=BC?MB?sinMBC=BC?MN

∴ME=MN，而ME=，MN=，解得x=.

50.答案：①②③④⑤

解析：①直角AOB在平面α的射影為直線l，如圖9―55所示.因此，判斷①是正確的.

圖9―55                圖9―56              圖9―57 

②直角AOB在平面α的射影為∠ASB，∠ASB為銳角，如圖9―56.因此，判斷②是正確的.

③直角AOB在平面α的射影為A′O′B′而A′O′B′為直角，如圖9―57，因此判斷③是正確的.

判斷④、⑤如圖9―58分析.

圖9―58

評(píng)述：這是考核空間想象能力的一個(gè)較好問(wèn)題.

51.答案：3

解析：如圖9―59所示，相互異面的線段有AB與CD，EF與GH，AB與GH3對(duì).

圖9―59               圖9―60

52.答案：30°

解析：如圖9―60，作BC邊中點(diǎn)M，∴VM⊥BC

過(guò)V作VO⊥底面ABCD

∴VO⊥MO，MO⊥BC，∴∠VMO為其側(cè)面與底面所成二面角的平面角

∵V_錐=S_ABCD?VO

∴4=?（2）²?VO ，∴VO=1

又∵OM=，VO⊥MO，∴∠VMO=30°

∴側(cè)面與底面所成的二面角為30°.

53.答案：②④

解析：①n與α相交或n與β相交，不正確

③m⊥b，b∈α，但m不垂直于α.∴在α內(nèi)有無(wú)數(shù)條與b垂直的直線

∴m可以垂直α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線.∴③不正確

54.答案：

解析：設(shè)球的半徑為R，正方體的邊長(zhǎng)為a.

（2R）²＝3a²

又∵6a²＝S  ∴3a²＝

∴4R²＝  R＝  又∵球的體積為V＝πR ³

∴V＝

55.答案：2π

解析：設(shè)母線為a，半徑為r.

∵a²sin60°＝   ∴a＝2，2r＝a，r＝1

∴S_側(cè)＝2πr?a?＝2π.

56.答案：5

解析：可組成三個(gè)大長(zhǎng)方體，其中對(duì)角線最長(zhǎng)的為（cm）．

57.答案：45°

解析：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于F，則AF⊥面BCD，∠AEF為所求的角．設(shè)BD＝a，則AF＝，EF＝，∴在Rt△AEF中，∠AEF＝45°．

58.答案：①④

解析：②有可能aβ，所以②不正確，③若b∥c，則a不一定垂直β.∴③不正確，只有①、④正確.

59.答案：2

解析：設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，則EF＝，

V_正四面體＝a³＝72．∴a＝6，∴EF＝2．

60.答案：②③

解析：∵面BFD₁E⊥面ADD₁A₁，所以四邊形BFD₁E在面ADD₁A₁上的射影是③，同理，在面BCC₁B₁上的射影也是③．

過(guò)E、F分別作DD₁和CC₁的垂線，可得四邊形BFD₁E在面DCC₁D₁上的射影是②，同理在面ABB₁A₁，面ABCD和面A₁B₁C₁D₁上的射影也是②．

61.答案：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所成角相等……）

解析：要使命題B與命題A等價(jià)，則只需保證頂點(diǎn)在底面上的射影S是底面正三角形的外心即可，因此，據(jù)射影定理，得側(cè)棱長(zhǎng)相等．

62.答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β

評(píng)述：本題主要考查線線、線面、面面之間關(guān)系的判定與性質(zhì).但題型較新穎，主要表現(xiàn)在：題目中以立體幾何知識(shí)為背景，給出了若干材料，要求學(xué)生能將其組裝成具有一定邏輯關(guān)系的整體.考查知識(shí)立足課本，對(duì)空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強(qiáng)能力考查的方向.

63.答案：AC⊥BD

64.答案：

解析：如圖9―61，底面三角形BCD的面積S=，設(shè)O是

△BCD的中心，則OB=×2=，棱錐A―BCD的高h=AO=.

所以正四面體的體積V=.

65.答案：①④

解析：由直線與平面垂直的判定定理知①正確；由平面與平面垂直的判定定理知④正確.

評(píng)述：本題是需要綜合靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)學(xué)生能力有較高的要求.數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言.需要進(jìn)行這三種語(yǔ)言的互譯，弄懂題意，搞清選擇肢的內(nèi)容，然后畫出圖形，用圖形幫助思考選擇.

66.答案：

解析:設(shè)取出小球后,容器水面將下降h cm.兩小球體積為V_球=2×π×（）³=π，此體積即等于它們?cè)谌萜髦信砰_的水的體積V₁，

V₁=π×5²×h，V₁=V_球，即25πh=π.∴h= cm.

67.答案：

解析：扇形弧長(zhǎng)L＝3?＝2π cm，設(shè)卷成圓錐的底面半徑為r，則2πr＝2π，

r＝1 cm，高h＝ cm，于是V＝π?1²?2π cm³.

68.答案：

解法一：設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為2，其高AD＝，旋轉(zhuǎn)半徑BD＝1，

V＝π?1?＝.

又EF＝1，HD＝，HE＝，則HGEF旋轉(zhuǎn)所得圓柱的體積V₁＝π?

（）²?.

由陰影部分產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積.

故由陰影部分所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積與V的比是.

解法二：設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，則圓柱的高為，底面圓半徑為，則

評(píng)述：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)知識(shí)，以及空間想象能力和計(jì)算能力.

69.答案：

解析：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，可得FD＝1，FC＝，BF＝，又BC＝1，在△CBF中，由余弦定理得cosCBF＝.

評(píng)述：本小題用了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，即兩異面直線所成角轉(zhuǎn)化成兩相交直線所夾的角，在原圖的基礎(chǔ)上再構(gòu)造空間圖形.這需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

70.答案：7∶32

解析：如圖9―62，是圓臺(tái)和半球的截面圖，設(shè)球的半徑為R，由題中已知條件可得OB＝OC＝BC＝R，CE＝，CD＝R，于是圓臺(tái)的體積為

V_圓臺(tái)＝，又球的體積V_球＝πR³，所以.

71.答案：37.70

解析：設(shè)焊成的圓錐形容器的半徑為r，高為h，依題意，得216°=×360°，

∴r=3，h==4.

∴V_圓錐=πr²h=×3.14×3²×4≈37.70

評(píng)述：本題考查圓錐的概念及側(cè)面展開圖的扇形圓心角的計(jì)算.

72.答案：π

解析：如圖9―63，取AB的中點(diǎn)M，連SM、OM，則SM⊥AB，OM⊥AB，又OM⊥OS，所以OM是AB與圓錐的軸的距離，OM＝1，SM＝，SO＝，AO＝.

體積V＝.

評(píng)述：重點(diǎn)考查圓錐、圓錐的體積、異面直線的距離及三垂線定理的應(yīng)用.

73.答案：24

解析：因?yàn)閳A錐體的軸截面是邊長(zhǎng)為10 cm的等邊三角形，所以母線l=10 cm，底面半徑r=5 cm，S_圓錐全=πrl+πr²=3.2×（50+25）=240（cm²）

因此，需要費(fèi)用為0.10×240=24元.

評(píng)述：本題考查圓錐體的表面積的計(jì)算，以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

74.（Ⅰ）解： =?2?2?1=.

（Ⅱ）證明：記D₁C與DC₁的交點(diǎn)為O，連結(jié)OE.

∵O是CD₁的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，∴EO∥BD₁，

∵BD₁平面C₁DE，EO平面C₁DE.∴BD₁∥平面C₁DE.

（Ⅲ）解：過(guò)C作CH⊥DE于H，連結(jié)C₁H.

在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，C₁C⊥平面ABCD，

∴C₁H⊥DE，∴∠C₁HC是面C₁DE與面CDE所成二面角的平面角.

∵DC=2，CC₁=1，CE=1.∴CH=

∴tanC₁HC=.即面C₁DE與面CDE所成二面角的正切值為.

評(píng)述：本題考查正四棱柱的基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.

75.（Ⅰ）證法一：連接AC.∵正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面是正方形.

∴AC⊥BD，又AC⊥D₁D，故AC⊥平面BDD₁B₁

∵E，F分別為AB，BC的中點(diǎn)，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD₁B₁

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

證法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD.

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

（Ⅱ）解：在對(duì)角面BDD₁B₁中，作D₁H⊥B₁G，垂足為H

∵平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，且平面B₁EF∩平面BDD₁B₁=B₁G，

∴D₁H⊥平面B₁EF，且垂足為H，∴點(diǎn)D₁到平面B₁EF的距離d=D₁H.

解法一：在Rt△D₁HB₁中，D₁H=D₁B₁?sinD₁B₁H，

∵D₁B₁=A₁B₁=4.

sinD₁B₁H=sinB₁GB=，

∴d=D₁H=4?

解法二：∵△D₁HB∽△B₁BG，∴

∴d=D₁H=.

解法三：如圖9―64，連接D₁G，則三角形D₁GB₁的面積等于正方形DBB₁D₁面積的一半.即B₁G?D₁H=BB₁².

∴d=.

（Ⅲ）?d?.

評(píng)述：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力.并進(jìn)行一定的邏輯推理.在研究本題時(shí)，要注意摘出平面圖形，便于計(jì)算.

76.（Ⅰ）證明：∵∠SAB=∠SAC=90°，  ∴SA⊥AB，SA⊥AC.

又AB∩AC=A，  ∴SA⊥平面ABC.

由于∠ACB=90°，即BC⊥AC， 

由三垂線定理，得SC⊥BC.

（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC

∴∠SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.

在Rt△SCB中，BC=5，SB=5. 

得SC==10

在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=

∴∠SCA=60°，即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°.

（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，

∵SA=.

S_△ABC=?AC?BC=×5×5=.

∴V_S－ABC=?S_△ACB?SA=.

77.（Ⅰ）同上題（Ⅰ）.

（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC，

∴∠SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.

在Rt△SCB中，由BC=，SB=，得

SC==4.

在Rt△SAC中，由AC=2，SC=4，得cosSCA=.

∴∠SCA=60°，即側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小為60°.

（Ⅲ）解：過(guò)點(diǎn)C作CD∥BA，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交CD于D，連結(jié)SD，則∠SCD是異面直線SC與AB所成的角.如圖9―65.

又四邊形ABCD是平行四邊形，

DC=AB=，

SA=，

SD==5.

在△SCD中，cosSCD=

∴SC與AB所成的角的大小為arccos.

78.（Ⅰ）解：∵PB⊥面ABCD，

∴BA是PA在面ABCD上的射影.

又DA⊥AB，∴PA⊥DA，

∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角如圖9―66，∠PAB=60°.

而PB是四棱錐P―ABCD的高，PB=AB?tan60°=a，

∴V_錐=a?a²=a³.

（Ⅱ）證明：不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.

作AE⊥DP，垂足為E，連結(jié)EC，則△ADE≌△CDE，

∴AE=CE，∠CED=90°，故∠CEA是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.

設(shè)AC與DB相交于點(diǎn)O，連結(jié)EO，則EO⊥AC，

∴a=OA＜AE＜AD=a.

在△AEC中，

cosAEC=.

所以，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°.

79.（Ⅰ）解：過(guò)B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過(guò)B₁作B₁G⊥PQ，垂足為G.如圖9―67

∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，

∠A₁B₁C₁=90°，

∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P.

∴∠B₁PG為所求二面角的平面角.

過(guò)C₁作C₁H⊥PQ，垂足為H.由于相對(duì)側(cè)面與底面所成二面角大小相等，故四邊形B₁PQC₁為等腰梯形.

∴PG=（b－d），

又B₁G=h，

∴tanB₁PG=（b＞d），即所求二面角的正切值為.

（Ⅱ）V_估＜V.

證明：∵a＞c，b＞d，

∴V－V_估=

=［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］

=（a－c）（b－d）＞0.

∴V_估＜V.

80.（Ⅰ）解：過(guò)B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過(guò)B₁作B₁G⊥PQ，垂足為G.如圖9―68

∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，

∠A₁B₁C₁=90°，

∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P.

∴∠B₁PG為所求二面角的平面角.過(guò)C₁作C₁H⊥PQ，垂足為H.由于相對(duì)側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形B₁PQC₁為等腰梯形.

∴PG=（b－d）， 

又B₁G=h， 

∴tanB₁PG=（b＞d），

∴∠B₁PG=arctan，即所求二面角的大小為arctan.

（Ⅱ）證明：∵AB，CD是矩形ABCD的一組對(duì)邊，有AB∥CD，

又CD是面ABCD與面CDEF的交線，

∴AB∥面CDEF. 

∵EF是面ABFE與面CDEF的交線，

∴AB∥EF. 

∵AB是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外，

∴EF∥面ABCD.

（Ⅲ）V_估＜V.

證明：∵a＞c，b＞d，

∴V－V_估=

=［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］

=（a－c）（b－d）＞0.

∴V_估＜V.

評(píng)述：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計(jì)算公式與可精確計(jì)算體積的辛普生公式之間計(jì)算誤差的問(wèn)題，是極具實(shí)際意義的問(wèn)題.考查了考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能.

81.解：（Ⅰ）如圖9―69中圖1，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線折起，可拼得一個(gè)正三棱錐.

如圖9―69中圖2，正三角形三個(gè)角上剪出三個(gè)相同的四邊形，其較長(zhǎng)的一組鄰邊邊長(zhǎng)為三角形邊長(zhǎng)的，有一組對(duì)角為直角.余下部分按虛線折起，可成為一個(gè)缺上底的正三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正三棱柱的上底.

圖9―69

（Ⅱ）依上面剪拼的方法，有V_柱＞V_錐.

推理如下：

設(shè)給出正三角形紙片的邊長(zhǎng)為2，那么，正三棱柱與正三棱錐的底面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其面積為.現(xiàn)在計(jì)算它們的高：

∴V_錐－V_柱=（h_錐－h_柱）?，

所以，V_柱＞V_錐.

評(píng)述：本題主要考查空間想象能力、動(dòng)手操作能力、探究能力和靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力，這是高考改革今后的命題方向.

82.解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于點(diǎn)P，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，如圖9―70

∴MN=PQ.

由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，

∴AC=BF=，  .

即CP=BQ=.

∴MN=PQ=

（0＜a＜）.

（Ⅱ）由（Ⅰ），MN=，

所以，當(dāng)a=時(shí)，MN=.

即M、N分別移動(dòng)到AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小值為.

（Ⅲ）取MN的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、BG，如圖9―71

∵AM=AN，BM=BN，G為MN的中點(diǎn)

∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角α的平面角，

又AG=BG=，所以，由余弦定理有

cosα=.

故所求二面角α=arccos（－）.

評(píng)述：該題考點(diǎn)多，具有一定深度，但入手不難，逐漸加深，邏輯推理和幾何計(jì)算交錯(cuò)為一體；以兩個(gè)垂直的正方形為背景，加強(qiáng)空間想象能力的考查.體現(xiàn)了立體幾何從考查、論證和計(jì)算為重點(diǎn)，轉(zhuǎn)到既考查空間概念，又考查幾何論證和計(jì)算.但有所側(cè)重，融論證于難度適中的計(jì)算之中.反映教育改革趨勢(shì)，體現(xiàn)時(shí)代發(fā)展潮流.此外解答過(guò)程中，必須引入適當(dāng)?shù)妮o助線，不僅考查識(shí)圖，還考查了基本的作圖技能.充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系”，較為深入和全面考查各種數(shù)學(xué)能力.

83.（Ⅰ）證明：∵CD⊥AB，VN⊥平面ABC，AB平面ABC，∴VN⊥AB.

又∵CD∩VN＝N  ∴平面VNC⊥AB

又∵MD平面VNC  ∴MD⊥AB

∴∠MDC為二面角M－MAB－C的平面角.如圖9―72

（Ⅱ）證明：∵VC平面VCN，∴AB⊥VC

又∵在△VCN和△CDM中，∠CVN＝∠MDC，∠VCN＝∠VCN 

∴∠DMC＝∠VNC＝90°.∴DM⊥VC

又∵AB∩DM＝D，AB、DM平面AMB 

∴VC⊥平面AMB．

（Ⅲ）解：∵MD⊥AB且MD⊥VC，∴MD為VC與AB的距離為h.

過(guò)M作ME⊥CD于E

∴V_MABC＝AB?CD×ME?ah²tanθ

84.（Ⅰ）證明：連結(jié)OF、CE、A′O.如圖9―73

∵AE＝BF  ∴EB＝CF  OC＝CB  ∠OCF＝∠CBE

∴△OCF≌△CEB  ∴∠ECB＝∠FOC，

∴OF⊥CE

又∵CC′⊥平面AC  CE⊥OF  ∴C′E⊥OF

又∵EB⊥平面BC′，C′B⊥B′C 

∴C′E⊥B′C

又∵A′O∥B′C  ∴C′E⊥A′O

又∵A′O∩OF＝O  C′E⊥A′O  C′E⊥OF

∴A′O⊥平面A′CO  A′F平面A′CO  ∴A′F⊥C′E

（Ⅱ）解：設(shè)EB＝y，BF＝x，邊長(zhǎng)為a，則x＋y＝a，三棱錐B′―BEF的體積

當(dāng)且僅當(dāng)x＝y＝時(shí)等號(hào)成立.

因此，三棱錐B′―BEF的體積取得最大值時(shí)BE＝BF＝.

過(guò)B作BD⊥EF交EF于D，連B′D，可知B′D⊥EF

∴∠B′DB是二面角B′―EF―B的平面角

在Rt△BEF中，直角邊BE＝BF＝，BD是斜邊上的高.

∴BD＝a，tanB′DB＝

∴二面角B′―EF―B的大小為arctan2

85.解：∵四棱錐S―ABCD中ABCD為直角梯形.

又∵BC⊥AB  ∴AD⊥AB

又∵SA⊥面ABCD  ∴SA⊥AB  SA⊥AD

又∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A

∴AD⊥平面SAB

（Ⅰ）V_S―ABCD＝?SA?S_ABCD

S_ABCD＝（AD＋BC）?AB

AB＝1  BC＝1  AD＝

∴S_ABCD＝（＋1）×1＝

∴S_S―ABCD＝×1×＝

（Ⅱ）延長(zhǎng)CD、BA交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，SE即平面CSD與平面BSA的交線.

又∵DA⊥平面SAB，∴過(guò)A點(diǎn)作SE的垂線交于F.如圖9―74.

∵AD＝BC且AD∥BC 

∴△ADE∽△BCE 

∴EA＝AB＝SA

又∵SA⊥AE  ∴△SAE為等腰直角三角形，F為中點(diǎn)， 又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE

∴由三垂線定理得DF⊥SE

∴∠DFA為二面角的平面角

∴tanDFA＝即所求二面角的正切值.

評(píng)述：欲求二面角的大小應(yīng)遵循“構(gòu)造―證明―計(jì)算”的步驟行事，這里首要的一步且先“出現(xiàn)兩個(gè)面的交線（棱）”否則構(gòu)造難以實(shí)行.

86.解：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，由已知△DAC為等腰直角三角形，如圖9―75

∴AC＝a，∠CAB＝45°．

過(guò)C作CH⊥AB，由AB＝2a，

可推得AC＝BC＝a． 

∴AC⊥BC

取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)D′E， 

則D′E⊥AC．

又∵二面角α―AC―β為直二面角， 

∴D′E⊥β．

又∵BC平面β，  ∴BC⊥D′E，

∴BC⊥α，而D′Cα 

∴BC⊥D′C

∴∠D′CA為二面角β―BC―γ的平面角．

由于∠D′CA＝45°，

∴二面角β―BC―γ為45°．

（Ⅱ）取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)D′E，再過(guò)D′作D′O⊥β，垂足為O，連結(jié)OE，

∵AC⊥D′E， 

∴AC⊥OE，

∴∠D′EO為二面角α―AC―β的平面角，如圖9―76

∴∠D′EO＝60°．

在Rt△D′OE中，

D′E＝a，D′O=a?sin60°=a

∴V_D′―ABC＝S_△ABC?D′O

＝×AC?BC?D′O

＝．

評(píng)述：本小題主要考查空間線面關(guān)系及運(yùn)算、推理、空間想象能力．

87.（Ⅰ）證明：連結(jié)A₁C、AC，AC和BD交于O，連結(jié)C₁O．

∵四邊形ABCD是菱形，如圖9―77

∴AC⊥BD，BC＝CD．

又∵∠BCC₁＝∠DCC₁，C₁C＝C₁C，

∴△C₁BC≌△C₁DC， 

∴C₁B＝C₁D，∵DO＝OB，

∴C₁O⊥BD． 

但AC⊥BD，AC∩C₁O＝O．

∴BD⊥平面AC₁， 

又C₁C平面AC₁，

∴C₁C⊥BD．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BD，C₁O⊥BD，

∴∠C₁OC是二面角α―BD―β的平面角．