1.（2003京春文，6）在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=20，那么a₃等于（    ）

A.4                            B.5                            C.6                            D.7

2.（2002上海春，16）設(shè)｛a_n｝（n∈N^*）是等差數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)的和，且S₅＜S₆，S₆＝S₇＞S₈，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（    ）

A.d＜0                                                            B.a₇＝0

C.S₉＞S₅                                                                                                                   D.S₆與S₇均為S_n的最大值

3.（2002京皖春，11）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所

有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有（    ）

A.13項(xiàng)                        B.12項(xiàng)                        C.11項(xiàng)                        D.10項(xiàng)

4.（2001京皖蒙春，12）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開(kāi)始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量S_n（萬(wàn)件）近似地滿足S_n=（21n－n²－5）（n=1，2，……，12）.

按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)1.5萬(wàn)件的月份是（    ）

A.5月、6月                                                   B.6月、7月

C．7月、8月                                                 D.8月、9月

5.（2001全國(guó)理，3）設(shè)數(shù)列{a_n}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（    ）

A.1                        B.2                        C.4                        D.6

6.（2001上海春，16）若數(shù)列{a_n}前8項(xiàng)的值各異，且a_n+8=a_n對(duì)任意n∈N^*都成立，則下列數(shù)列中可取遍{a_n}前8項(xiàng)值的數(shù)列為（    ）

A.{a_2k+1}                   B.{a_3k+1}                   C.{a_4k+1}                   D.{a_6k+1}

7.（2001天津理，2）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=n²，則{a_n}是（    ）

A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列                         B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列

C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列                            D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列

8.（2000京皖春，13）已知等差數(shù)列｛a_n｝滿足a₁+a₂+a₃+…＋a₁₀₁＝0，則有（    ）

A.a₁＋a₁₀₁＞0                                                        B.a₂＋a₁₀₀＜0

C.a₃＋a₉₉＝0                                                   D.a₅₁＝51

9.（1998全國(guó)文，15）等比數(shù)列{a_n}的公比為－，前n項(xiàng)和S_n滿足，那么a₁的值為（    ）

A.±                    B.±                 C.±                     D.±

10.（1998全國(guó)理，15）在等比數(shù)列｛a_n｝中，a₁＞1，且前n項(xiàng)和S_n滿足，那么a₁的取值范圍是（    ）

A.（1，＋∞）      B.（1，4）      C.（1，2）               D．（1，）

11.（1997上海文，6）設(shè)f（n）=1+（n∈N），那么f（n+1）－

f（n）等于（    ）

A.                                               B.

C.                                 D.

12.（1997上海理，6）設(shè)f（n）=（n∈N），那么

f（n+1）－f（n）等于（    ）

A.                                   B.   

C.                               D.

13.（1996全國(guó)理，10）等比數(shù)列｛a_n｝的首項(xiàng)a₁＝－1，前n項(xiàng)和為S_n，若，則S_n等于（    ）

A.                         B.－                     C.2                        D.－2

14.（1994全國(guó)理，12）等差數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（    ）

A.130                       B.170                        C.210                   D.260

15.（1995全國(guó)，12）等差數(shù)列｛a_n｝，｛b_n｝的前n項(xiàng)和分別為S_n與T_n，若，則等于（    ）

A.1                B.                 C.                      D.

^※16.（1994全國(guó)理，15）某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中，每20分鐘分裂一次（一個(gè)

分裂二個(gè)）經(jīng)過(guò)3小時(shí)，這種細(xì)菌由1個(gè)可以繁殖成（    ）

A.511個(gè)           B.512個(gè)                 C.1023個(gè)                D.1024個(gè)

17.（1994上海，20）某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n=k（k∈N）時(shí)該命題成立，那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí)，該命題不成立，那么可推得（    ）

A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立                         B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立

C.當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立                         D.當(dāng)n=4時(shí)該命題成立

^※18.（2003京春理14，文15）在某報(bào)《自測(cè)健康狀況》的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（_____）內(nèi).

19.（2003上海春，12）設(shè)f（x）=.利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值為_(kāi)____.

20.（2002北京，14）等差數(shù)列｛a_n｝中，a₁＝2，公差不為零，且a₁，a₃，a₁₁恰好是某等比數(shù)列的前三項(xiàng)，那么該等比數(shù)列公比的值等于           ．

21.（2002上海，5）在二項(xiàng)式（1＋3x）ⁿ和（2x＋5）ⁿ的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和分別記為a_n、b_n（n是正整數(shù)），則=          ．

22.（2001全國(guó)，15）設(shè)｛a_n｝是公比為q的等比數(shù)列，S_n是它的前n項(xiàng)和，若｛S_n｝是等差數(shù)列，則q=_____.

23.（2001上海文，2）設(shè)數(shù)列｛a_n｝的首項(xiàng)a₁＝－7，且滿足a_n＋1＝a_n＋2（n∈N），則a₁＋a₂＋…＋a₁₇＝         .

24.（2001上海，6）設(shè)數(shù)列｛a_n｝是公比q＞0的等比數(shù)列，S_n是它的前n項(xiàng)和，若S_n＝7，則此數(shù)列的首項(xiàng)a₁的取值范圍是       .

25.（2001上海理，2）設(shè)數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)為a_n＝2n－7（n∈N^*），則|a₁|＋|a₂|＋…＋|a₁₅|＝       ．

^※26.（2001上海春，7）計(jì)算=_____.

27.（2000上海春，7）若數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)為（n∈N^*），則（a₁+n²a_n）＝    ．

28.（2000全國(guó)，15）設(shè)｛a_n｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）a_n＋1²－na_n²+a_n＋1a_n＝0（n＝1，2，3，…），則它的通項(xiàng)公式是a_n＝      ．

29.（2000上海，12）在等差數(shù)列｛a_n｝中，若a₁₀＝0，則有等式a₁+a₂+…＋a_n=a₁+a₂+…＋a_19－n（n＜19，n∈N成立.類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列｛b_n｝中，若b₉＝1，則有等式     成立.

^※30.（2000上海，4）計(jì)算=_____.

31.（1999上海，10）在等差數(shù)列{a_n}中，滿足3a₄=7a₇，且a₁>0，S_n是數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和，若S_n取得最大值，則n=_____.

32.（1998上海文、理，10）在數(shù)列｛a_n｝和｛b_n｝中，a₁=2，且對(duì)任意自然數(shù)n，3a_n+1－a_n=0，b_n是a_n與a_n+1的等差中項(xiàng)，則｛b_n｝的各項(xiàng)和是_____.

33.（1997上海）設(shè)0<a<b，則=_____.

^※34.（1997上海）=_____.

35.（1995上海）若［1+（r+1）ⁿ］=1，則r的取值范圍是_____.

^※36.（1995上海）（1+）^n－2=_____.

37.（1995上海，12）已知log₃x=，那么x+x²+x³+…+xⁿ+…=_____.

^※38.（1995上海理，11）1992年底世界人口達(dá)54.8億，若人口的年平均增長(zhǎng)率為x%，2000年底世界人口數(shù)為y（億），那么y與x的函數(shù)關(guān)系式是_____.

39.（2003京春，21）如圖3―1，在邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC中，圓O₁為△ABC的內(nèi)切圓，圓O₂與圓O₁外切，且與AB，BC相切，…，圓O_n+1與圓O_n外切，且與AB、BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去.記圓O_n的面積為a_n（n∈N^*）.

（Ⅰ）證明{a_n}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求（a₁+a₂+…+a_n）的值.

^※40.（2003上海春，22）在一次人才招聘會(huì)上，有A、B兩家公司分別開(kāi)出它們的工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司允諾第一年月工資為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；B公司允諾第一年月工資為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%.設(shè)某人年初被A、B兩家公司同時(shí)錄取，試問(wèn)：

（1）若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少？

（2）該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)（不計(jì)其他因素），該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？

（3）在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元？（精確到1元）并說(shuō)明理由.

^※41.（2002上海春，21）某公司全年的純利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工.獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)（工作業(yè)績(jī)均不相同）從大到小.由1至n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工.并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.

（Ⅰ）設(shè)a_k（1≤k≤n）為第k位職工所得獎(jiǎng)金額，試求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k；（不必證明）

（Ⅱ）證明a_k＞a_k＋1（k＝1，2，…，n－1），并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；

（Ⅲ）發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為P_n（b）．對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求P_n（b）．

42.（2002北京春，21）已知點(diǎn)的序列A_n（x_n，0），n∈N，其中，x₁＝0，x₂＝a（a＞0），A₃是線段A₁A₂的中點(diǎn)，A₄是線段A₂A₃的中點(diǎn)，…，A_n是線段A_n－2A_n－1的中點(diǎn)，……

（Ⅰ）寫(xiě)出x_n與x_n－1、x_n－2之間的關(guān)系式（n≥3）；

（Ⅱ）設(shè)a_n＝x_n＋1－x_n計(jì)算a₁，a₂，a₃，由此推測(cè)數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式，并加以證明；

（Ⅲ）（理）求x_n．

^※43.（2002全國(guó)文，18）甲、乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng).甲第1分鐘走2 m，以后每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙每分鐘走5 m．

（Ⅰ）甲、乙開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇?

（Ⅱ）如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙繼續(xù)每分鐘走5 m，那么開(kāi)始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇?

^※44.（2002全國(guó)理，20）某城市2001年末汽車(chē)保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車(chē)保有量的6%，并且每年新增汽車(chē)數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車(chē)保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車(chē)數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛?

45.（2002全國(guó)理，21）設(shè)數(shù)列｛a_n｝滿足a_n＋1＝a_n²－na_n＋1，n＝1，2，3，…，

（Ⅰ）當(dāng)a₁＝2時(shí)，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）當(dāng)a₁≥3時(shí)，證明對(duì)所有的n≥1，有

（?）a_n≥n＋2；

（?）．

46.（2002北京，19）數(shù)列｛x_n｝由下列條件確定：x₁＝a＞0，x_n＋1＝（x_n＋），

n∈N^*．

（Ⅰ）證明：對(duì)n≥2，總有x_n≥；

（Ⅱ）證明：對(duì)n≥2，總有x_n≥x_n＋1；

（Ⅲ）（理）若數(shù)列｛x_n｝的極限存在，且大于零，求x_n的值.

47.（2002江蘇，18）設(shè)｛a_n｝為等差數(shù)列，｛b_n｝為等比數(shù)列，a₁＝b₁＝1，a₂＋a₄＝b₃，b₂b₄＝a₃．分別求出｛a_n｝及｛b_n｝的前10項(xiàng)的和S₁₀及T₁₀．

48.（2002上海，21）已知函數(shù)f（x）＝ab^x的圖象過(guò)點(diǎn)A（4，）和B（5，1）

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；

（Ⅱ）記a_n＝log₂f（n），n是正整數(shù)，S_n是數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和，解關(guān)于n的不等式a_nS_n≤0；

（Ⅲ）（文）對(duì)于（Ⅱ）中的a_n與S_n，整數(shù)96是否為數(shù)列｛a_nS_n｝中的項(xiàng)?若是，則求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不是，則說(shuō)明理由.

^※49.（2002北京，20）在研究并行計(jì)算的基本算法時(shí)，有以下簡(jiǎn)單模型問(wèn)題：用計(jì)算機(jī)求n個(gè)不同的數(shù)v₁，v₂，…，v_n的和＝v₁＋v₂＋v₃＋…＋v_n．計(jì)算開(kāi)始前，n個(gè)數(shù)存貯在n臺(tái)由網(wǎng)絡(luò)連接的計(jì)算機(jī)中，每臺(tái)機(jī)器存一個(gè)數(shù).計(jì)算開(kāi)始后，在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，每臺(tái)機(jī)器至多到一臺(tái)其他機(jī)器中讀數(shù)據(jù)，并與自己原有數(shù)據(jù)相加得到新的數(shù)據(jù)，各臺(tái)機(jī)器可同時(shí)完成上述工作.

為了用盡可能少的單位時(shí)間，使各臺(tái)機(jī)器都得到這n個(gè)數(shù)的和，需要設(shè)計(jì)一種讀和加的方法.比如n＝2時(shí)，一個(gè)單位時(shí)間即可完成計(jì)算，方法可用下表表示：

機(jī)

器

號(hào)

初

始

時(shí)

第一單位時(shí)間

第二單位時(shí)間

第三單位時(shí)間

被讀機(jī)號(hào)

結(jié)果

被讀機(jī)號(hào)

結(jié)果

被讀機(jī)號(hào)

結(jié)果

1

v₁

2

v₁+v₂

v₁+v₂

v₂

1

v₂+v₁

（Ⅰ）當(dāng)n＝4時(shí)，至少需要多少個(gè)單位時(shí)間可完成計(jì)算?

把你設(shè)計(jì)的方法填入下表

機(jī)器號(hào)

初始時(shí)

第一單位時(shí)間

第二單位時(shí)間

第三單位時(shí)間

被讀機(jī)號(hào)

結(jié)果

被讀機(jī)號(hào)

結(jié)果

被讀機(jī)號(hào)

結(jié)果

1

v₁

2

v₂

3

v₃

4

v₄

（Ⅱ）當(dāng)n＝128時(shí)，要使所有機(jī)器都得到，至少需要多少個(gè)單位時(shí)間可完成計(jì)算?（結(jié)論不要求證明）

50.（2002天津理，22）已知｛a_n｝是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a₁＝0，a₂＝3，

a_n＋1a_n＝（a_n－1＋2）（a_n－2＋2），n＝3，4，5，…．

（Ⅰ）求a₃；

（Ⅱ）證明a_n＝a_n－2＋2，n＝3，4，5，…；

（Ⅲ）求｛a_n｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和S_n．

51.（2001全國(guó)春季北京、安徽，20）在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a₁，a₂，a₃……，a_n，使這n＋2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b₁，b₂，b₃，……，b_n，使這

n＋2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記A_n＝a₁a₂a₃……a_n，B_n＝b₁＋b₂＋b₃＋……＋b_n.

（Ⅰ）求數(shù)列｛A_n｝和｛B_n｝的通項(xiàng)；

（Ⅱ）當(dāng)n≥7時(shí)，比較A_n與B_n的大小，并證明你的結(jié)論.

^※52.（2001全國(guó)理，21）從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.

（Ⅰ）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為a_n萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為b_n萬(wàn)元.寫(xiě)出a_n，b_n的表達(dá)式；

（Ⅱ）至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?

^※53.（2001上海，22）對(duì)任意函數(shù)f（x），x∈D，可按圖示3―2構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：

①輸入數(shù)據(jù)x₀∈D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x₁＝f（x₀）；

②若x₁D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x₁∈D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂＝f（x₁），并依此規(guī)律繼續(xù)下去．

現(xiàn)定義f（x）=．

（Ⅰ）若輸入x₀＝，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列｛x_n｝．請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列｛x_n｝的所有項(xiàng)；

（Ⅱ）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x₀的值；

（Ⅲ）（理）若輸入x₀時(shí)，產(chǎn)生的無(wú)窮數(shù)列｛x_n｝滿足：對(duì)任意正整數(shù)n,均有x_n＜x_n＋1，求x₀的取值范圍．

54.（2001上海春，22）已知{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列,S_n為它的前n項(xiàng)和.

（1）用S_n表示S_n+1；

（2）是否存在自然數(shù)c和k，使得>2成立.

55.（2001全國(guó)文，17）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為a，4，3a，前n項(xiàng)和為S_n，S_k=2550.

（1）求a及k的值；

（2）求.

56.（2000京皖春理，24）已知函數(shù)f（x）=

其中f₁（x）＝－2（x）²＋1，f₂（x）＝－2x＋2．

（Ⅰ）在圖3―3坐標(biāo)系上畫(huà)出y=f（x）的圖象；

（Ⅱ）設(shè)y=f₂（x）（x∈［，1］）的反函數(shù)為y=g（x），a₁＝1，a₂＝g（a₁），…，a_n＝g（a_n－1）；求數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式，并求a_n；

（Ⅲ）若x₀∈［0，），x₁＝f（x₀），f（x₁）＝x₀，求x₀．

57.（2000京皖春文，22）已知等差數(shù)列｛a_n｝的公差和等比數(shù)列｛b_n｝的公比相等，且都等于d（d＞0，d≠1）.若a₁=b₁，a₃=3b₃，a₅=5b₅，求a_n，b_n．

58.（2000全國(guó)理，20）（Ⅰ）已知數(shù)列｛c_n｝，其中c_n＝2ⁿ＋3ⁿ，且數(shù)列｛c_n＋1－pc_n｝為等比數(shù)列，求常數(shù)p；

（Ⅱ）設(shè)｛a_n｝、｛b_n｝是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，c_n=a_n+b_n，證明數(shù)列｛c_n｝不是等比數(shù)列.

59.（2000全國(guó)文，18）設(shè)｛a_n｝為等差數(shù)列，S_n為數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和，已知S₇＝7，S₁₅＝75，T_n為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，求T_n．

60.（2000上海，21）在XOY平面上有一點(diǎn)列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，點(diǎn)P_n位于函數(shù)y=2000（）^x（0＜a＜10）的圖象上，且點(diǎn)P_n、點(diǎn)（n，0）與點(diǎn)（n+1，0）構(gòu)成一個(gè)以P_n為頂點(diǎn)的等腰三角形.

（Ⅰ）求點(diǎn)P_n的縱坐標(biāo)b_n的表達(dá)式；

（Ⅱ）若對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，以b_n，b_n＋1，b_n＋2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；

（Ⅲ）（理）設(shè)B_n＝b₁，b₂…b_n（n∈N）.若a取（Ⅱ）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列｛B_n｝的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).

（文）設(shè)c_n＝lg（b_n）（n∈N）.若a�。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問(wèn)數(shù)列｛c_n｝前多少項(xiàng)的和最大?試說(shuō)明理由.

61.（2000上海春，20）已知｛a_n｝是等差數(shù)列，a₁＝－393，a₂＋a₃＝－768，｛b_n｝是公比為q（0＜q＜1）的無(wú)窮等比數(shù)列，b₁＝2，且｛b_n｝的各項(xiàng)和為20.

（Ⅰ）寫(xiě)出｛a_n｝和｛b_n｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）試求滿足不等式≤－160b₂的正整數(shù)m.

62.（2000廣東，18）設(shè){a_n}為等比數(shù)列，T_n=na₁+（n－1）a₂+…+2a_n－1+a_n，已知T₁=1，T₂=4.

（1）求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公比；

（2）求數(shù)列{T_n}的通項(xiàng)公式.

63.（1999全國(guó)理，23）已知函數(shù)y=f（x）的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線.當(dāng)n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）時(shí)，該圖象是斜率為bⁿ的線段（其中正常數(shù)b≠1），該數(shù)列｛x_n｝由f（x_n）=n（n=1，2，…）定義.

（Ⅰ）求x₁、x₂和x_n的表達(dá)式；

（Ⅱ）求f（x）的表達(dá)式，并寫(xiě)出其定義域；

（Ⅲ）證明：y=f（x）的圖象與y=x的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).

64.（1999全國(guó)文，20）數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和記為S_n．已知a_n＝5S_n－3（n∈N）．求（a₁＋a₃＋…＋a_2n－1）的值.

65.（1999上海，18）設(shè)正數(shù)數(shù)列{a_n}為一等比數(shù)列，且a₂=4，a₄=16，求.

66.（1998全國(guó)理，25）已知數(shù)列｛b_n｝是等差數(shù)列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=145.

（Ⅰ）求數(shù)列｛b_n｝的通項(xiàng)b_n；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)a_n=log_a（1+）（其中a＞0，且a≠1），記S_n是數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和.試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結(jié)論.

67.（1998全國(guó)文，25）已知數(shù)列｛b_n｝是等差數(shù)列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100.

（Ⅰ）求數(shù)列｛b_n｝的通項(xiàng)b_n；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)a_n=lg（1+），記S_n是數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和，試比較S_n與lgb_n+1的大小，并證明你的結(jié)論.

68.（1998上海，22）若A_n和B_n分別表示數(shù)列{a_n}和{b_n}前n項(xiàng)的和，對(duì)任意正整數(shù)n，a_n=－，4B_n－12A_n=13n.

（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)有拋物線列C₁，C₂，…，C_n，…拋物線C_n（n∈N^*）的對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸，頂點(diǎn)為（a_n，b_n），且通過(guò)點(diǎn)D_n（0，n²+1），求點(diǎn)D_n且與拋物線C_n相切的直線斜率為k_n，求極限.

（3）設(shè)集合X={x|x=2a_n，n∈N^*}，Y={y|y=4b_n，n∈N^*}.若等差數(shù)列{C_n}的任一項(xiàng)C_n∈X∩Y，C₁是X∩Y中的最大數(shù)，且－265<C₁₀<－125.求{C_n}的通項(xiàng)公式.

69.（1997全國(guó)理，21）已知數(shù)列｛a_n｝｛b_n｝都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1，設(shè)c_n=a_n+b_n，S_n為數(shù)列｛c_n｝的前n項(xiàng)和，求.

70.（1997全國(guó)文，21）設(shè)S_n是等差數(shù)列｛a_n｝前n項(xiàng)的和，已知S₃與S₄的等比中項(xiàng)為的等差中項(xiàng)為1，求等差數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)a_n.

71.（1997上海理，22）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足關(guān)系式：

3tS_n－（2t+3）S_n－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）

（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為f（t），作數(shù)列{b_n}，使b₁=1，b_n=f（）（n=2，3，4，…），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；

（3）求和：b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－b₄b₅…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1.

72.（1996全國(guó)文，21）設(shè)等比數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和為S_n，若S₃＋S₆＝2S₉，求數(shù)列的公比q.

73.（1996上海，24）設(shè)A_n為數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和，A_n=（a_n－1）（n∈N^*），數(shù)列｛b_n｝的通項(xiàng)公式為b_n=4n+3（n∈N）.

（Ⅰ）求數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若d∈｛a₁，a₂，a₃，…，a_n，…｝∩｛b₁，b₂，b₃，…，b_n，…｝，則稱(chēng)d為數(shù)列｛a_n｝與｛b_n｝的公共項(xiàng)，將數(shù)列｛a_n｝｛b_n｝的公共項(xiàng)，按它們?cè)谠瓟?shù)列中的先后順序排成一個(gè)新的數(shù)列｛d_n｝，證明數(shù)列｛d_n｝的通項(xiàng)公式為d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）；

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列｛d_n｝中第n項(xiàng)是數(shù)列｛b_n｝中的第r項(xiàng)，B_r為數(shù)列｛b_n｝的前r項(xiàng)的和，D_n為數(shù)列｛d_n｝的前n項(xiàng)和，T_n=B_r+D_n，求.

74.（1995全國(guó)理，25）設(shè)｛a_n｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S_n是前n項(xiàng)和.

（Ⅰ）證明：＜lgS_n＋1；

（Ⅱ）是否存在常數(shù)C＞0使得=lg（S_n+1－C）成立?并證明你的結(jié)論.

75.（1994全國(guó)文，25）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)于所有的正整數(shù)n，都有S_n=.證明：{a_n}是等差數(shù)列.

76.（1994全國(guó)理，25）設(shè)｛a_n｝是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，并且對(duì)所有自然數(shù)n，a_n與2的等差中項(xiàng)等于S_n與2的等比中項(xiàng).

（Ⅰ）寫(xiě)出數(shù)列｛a_n｝的前三項(xiàng)；

（Ⅱ）求數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式（寫(xiě)出推證過(guò)程）；

（Ⅲ）令b_n=（n∈N^*），求（b₁+b₂+…+b_n－n）.

77.（1994上海，26）已知數(shù)列｛a_n｝滿足條件：a₁=1，a₂=r（r＞0）且｛a_n?a_n+1｝是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，設(shè)b_n=a_2n－1+a_2n（n=1，2，…）

（Ⅰ）求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+2（n∈N^*）成立的q的取值范圍；

（Ⅱ）求b_n和，其中S_n=b₁+b₂+…+b_n；

（Ⅲ）設(shè)r=2^19．2－1，q=，求數(shù)列｛｝的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值.

●答案解析

1.答案：A

解法一：因?yàn)?i>a_n為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a₁，公差為d，由已知有5a₁+10d=20，

∴a₁+2d=4，即a₃=4

解法二：在等差數(shù)列中a₁+a₅=a₂+a₄=2a₃.

所以由a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=20得5a₃=20，∴a₃=4.

評(píng)述：本題考查數(shù)列的基本知識(shí)，在解析二中，比較靈活地運(yùn)用了等差數(shù)列中項(xiàng)的關(guān)系.

2.答案：C

解析：由S₅<S₆得a₁+a₂+a₃+…+a₅<a₁+a₂+…+a₅+a₆，∴a₆>0

又S₆=S₇，∴a₁+a₂+…+a₆=a₁+a₂+…+a₆+a₇，∴a₇=0.

由S₇>S₈，得a₈<0，而C選項(xiàng)S₉>S₅，即a₆+a₇+a₈+a₉>02（a₇+a₈）>0.

由題設(shè)a₇=0，a₈<0，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.

3.答案：A

解析：設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)

∵         ∴

∴n＝13

4.答案：C

解析：n個(gè)月累積的需求量為S_n．∴第n個(gè)月的需求量為

a_n＝S_n－S_n－1＝（21n－n²－5）－［21（n－1）－（n－1）²－5］

＝（－n²＋15n－9）

a_n＞1．5即滿足條件，∴（－n²＋15n－9）＞1.5，6＜n＜9（n＝1，2，3，…，12），

∴n=7或n=8．

5.答案：B

解析：前三項(xiàng)和為12，∴a₁＋a₂＋a₃＝12，∴a₂＝＝4

a₁?a₂?a₃＝48，∵a₂＝4，∴a₁?a₃＝12，a₁＋a₃＝8，

把a₁，a₃作為方程的兩根且a₁＜a₃，

∴x²－8x＋12＝0，x₁＝6，x₂＝2，∴a₁＝2，a₃＝6，∴選B.

6.答案：B

解析：∵k∈N^*，∴當(dāng)k=0，1，2，…7時(shí)，利用a_n+8=a_n，

數(shù)列{a_3k+1}可以取遍數(shù)列{a_n}的前8項(xiàng).

評(píng)述：本題考查了數(shù)列的基本知識(shí)和考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

7.答案：B

解法一：a_n=

∴a_n=2n－1（n∈N）

又a_n+1－a_n=2為常數(shù)，≠常數(shù)

∴{a_n}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.

解法二：如果一個(gè)數(shù)列的和是一個(gè)沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于n的二次函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列.

評(píng)述：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識(shí)，以及靈活運(yùn)用遞推式a_n=S_n－S_n－1的推理能力.但不要忽略a₁，解法一緊扣定義，解法二較為靈活.

8.答案：C

解析：a₁+a₂+a₃+…＋a₁₀₁＝0

即（a₃＋a₉₉）＝0，∴a₃＋a₉₉＝0．

9.答案：D

解析：，

∴a₁²=1－q，∴a₁²=，∴a=±.

10.答案：D

解析：由題意得：且0＜|q|＜1

∴－q=a₁²－1  ∴0＜|a₁²－1|＜1

又∵a₁＞1    ∴1＜a₁＜，故選D.

評(píng)述：該題主要考查了無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式的應(yīng)用，挖掘了公式成立的條件.

11.答案：D

解析：∵f（n）=1+

∴f（n+1）=

∴f（n+1）－f（n）=

12.答案：D

解析：f（n）為n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)之和

f（n+1）=

∴f（n+1）－f（n）=.

13.答案：B

解析：

，又a₁=－1，故，故選B.

評(píng)述：本題主要考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和求和公式的靈活運(yùn)用，較好地考查了基本知識(shí)以及思維的靈活性.

14.答案：C

解法一：由題意得方程組

視m為已知數(shù)，解得

∴

解法二：設(shè)前m項(xiàng)的和為b₁，第m+1到2m項(xiàng)之和為b₂，第2m+1到3m項(xiàng)之和為b₃，則b₁，b₂，b₃也成等差數(shù)列.

于是b₁=30，b₂=100－30=70，公差d=70－30=40.

∴b₃=b₂+d=70+40=110

∴前3m項(xiàng)之和S_3m=b₁+b₂+b₃=210.

解法三：取m=1，則a₁=S₁=30，a₂=S₂－S₁=70，從而d=a₂－a₁=40.

于是a₃=a₂+d=70+40=110.∴S₃=a₁+a₂+a₃=210.

評(píng)述：本題考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問(wèn)題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問(wèn)題，等比數(shù)列也有類(lèi)似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對(duì)任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項(xiàng)的和是與m無(wú)關(guān)的不變量，在含有某種變化過(guò)程的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用不變量的思想求解，立竿見(jiàn)影.

15.答案：C

解法一：應(yīng)用等差數(shù)列中，若m+n=p+q，有a_m+a_n=a_p+a_q這條性質(zhì)來(lái)解.

，

所以

解法二：設(shè)數(shù)列｛a_n｝的首項(xiàng)為a₁，公差為d，｛b_n｝的首項(xiàng)為b₁，公差為m，則

注意n是極限中的變量有

.

解法三：∵

∴不妨令S_n=2n²，T_n=3n²+n

∴a_n=S_n－S_n－1=2n²－2（n－1）²=4n－2（n=1時(shí)成立），b_n=T_n－T_n－1=6n－2（n=1成立）

∴

評(píng)述：該題的形式新穎，其考查目的也明確，正確解答，可考查其數(shù)學(xué)能力，要是在題型的選用上，采用解答題的形式，那將是一道十分理想的中等難度的試題.可是作為選擇題，其考查的有效性大打折扣，因?yàn)橛邢喈?dāng)一部分考生，并沒(méi)有用正確的方法卻也得出了正確答案C.

16.答案：B

解析：由題意知細(xì)菌繁殖過(guò)程中是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，所以a₁₀＝a₁q⁹=2⁹=512.

評(píng)述：該題作為數(shù)學(xué)應(yīng)用題，又是選擇題，問(wèn)題的實(shí)際背景雖然簡(jiǎn)單，考查的知識(shí)點(diǎn)也集中明確，但也有一定的深刻性.

解決本題，應(yīng)搞清題意，應(yīng)求的是a₉的值，而不是求和.

從題型設(shè)計(jì)的角度，本題的立意、取材和構(gòu)題都是不錯(cuò)的.

17.答案：C

解析：因?yàn)楫?dāng)n=k時(shí)，命題成立可推出n=k+1時(shí)成立，所以n=5時(shí)命題不成立，則n=4時(shí)，命題也一定不成立，故應(yīng)當(dāng)選C.

18.答案：140  85

解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列.舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了3毫米、2毫米，…照此規(guī)律，60歲時(shí)的收縮壓和舒張壓分別為140；85.

評(píng)述：本題以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查了如何把實(shí)際生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.它不需要技能、技巧及繁雜的計(jì)算，需要有一定的數(shù)學(xué)意識(shí)，有效地把數(shù)學(xué)過(guò)程實(shí)施為數(shù)學(xué)思維活動(dòng).

19.答案：3

解析：因?yàn)?i>f（x）=，∴f（1－x）=

∴f（x）+f（1－x）=.

設(shè)S=f（－5）+f（－4）+…+f（6），則S=f（6）+f（5）+…+f（－5）

∴2S=（f（6）+f（－5））+（f（5）+f（－4））+…+（f（－5）+…f（6））=6

∴S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（6）=3.

評(píng)述：本題利用課本中等差數(shù)列倒序求和為考生提供了一個(gè)思維模式，但發(fā)現(xiàn)f（x）+

f（1－x）=有一定難度，需要考生有一定的觀察能力、思維能力及解決問(wèn)題的能力.

20.答案：4

解析：設(shè)a₁，a₃，a₁₁組成的等比數(shù)列公比為q．

∴a₃＝a₁q＝2q，a₁₁＝a₁q²＝2q²

又 ∵數(shù)列｛a_n｝是等差數(shù)列∴a₁₁＝a₁＋5（a₃－a₁）

∴2q²＝a₁＋5（2q－a₁）  ∴2q²＝2＋5（2q－2），解得q＝4

21.答案：

解析：由二項(xiàng)式定理，得：a_n＝4ⁿ，b_n＝7ⁿ

∴

22.答案：1

解析：方法一：∵S_n－S_n－1＝a_n，又∵S_n為等差數(shù)列，∴a_n為定值．

∴a_n為常數(shù)列，q＝＝1

方法二：a_n為等比數(shù)列，設(shè)a_n＝a₁q^n－1，且S_n為等差數(shù)列，

∴2S₂＝S₁＋S₃，2a₁q＋2a₁＝2a₁＋a₁＋a₁q＋a₁q²，q²－q＝0，q＝0（舍）q=1.

23.答案：153

解析：∵a_n＋1－a_n＝2，∴｛a_n｝為等差數(shù)列．

∴a_n＝－7（n－1）?2，∴a₁₇＝－7＋16×2＝25

．

24.答案：（0，7）

解析：∵S_n＝7，∴｛a_n｝是一個(gè)無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，0＜q＜1，

且＝7，∴a₁＝7（1－q），又∵0＜q＜1，∴1＞1－q＞0，

∴0＜7（1－q）＜7，即7＞a₁＞0．

25.答案：153

解析：|a₁|＋|a₂|＋…＋|a₁₅|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋…＋23＝153．

^※26.答案：e²

解析：

27.答案：

解析：．

28.答案：

解析：將（n+1）a_n＋1²－na_n²+a_n＋1a_n＝0化簡(jiǎn)得（n＋1）a_n＋1＝na_n．當(dāng)n=1時(shí)，2a₂=a₁=1，∴a₂＝，n=2時(shí)，3a₃=2a₂=2×＝1，∴a₃＝，…可猜測(cè)a_n＝，數(shù)學(xué)歸納法證明略.

29.答案：b₁b₂…b_n＝b₁b₂…b_17－n（n＜17，n∈N^*）

解析：在等差數(shù)列｛a_n｝中，由a₁₀＝0，得

a₁＋a₁₉＝a₂＋a₁₈＝…＝a_n＋a_20－n＝a_n＋1＋a_19－n＝2a₁₀＝0，

所以a₁＋a₂＋…＋a_n＋…＋a₁₉＝0，

即a₁＋a₂＋…＋a_n＝－a₁₉－a₁₈－…－a_n＋1，

又∵a₁＝－a₁₉，a₂＝－a₁₈，…，a_19－n＝－a_n＋1

∴a₁＋a₂＋…＋a_n＝－a₁₉－a₁₈－…－a_n＋1＝a₁＋a₂＋…＋a_19－n．

若a₉＝0，同理可得a₁＋a₂＋…＋a_n＝a₁＋a₂＋a_17－n．

相應(yīng)地等比數(shù)列｛b_n｝中，則可得：b₁b₂…b_n＝b₁b₂…b_17－n（n＜17，n∈N^*）

^※30.答案：e^－2

解析：.

評(píng)述：本題主要考查靈活運(yùn)用數(shù)列極限公式的能力及代數(shù)式的變形能力.

31.答案：9

解法一：設(shè)公差為d，由題設(shè)有3（a₁+3d）=7（a₁+6d），

解得d=－a₁<0，解不等式a_n>0，

即a₁+（n－1）（－a₁）>0得n<，則n≤9.

當(dāng)n≤9時(shí)，a_n>0，同理可得n≥10時(shí)a_n<0.

所以n=9時(shí)，S_n取得最大值.

解法二：∵d=－a₁

∴S_n=na₁+

=

∵－<0，∴（n－）²最小時(shí)，S_n最大.

又n∈N，∴n=9.

評(píng)述：本題考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，解法二的計(jì)算量太大.

32.答案：2 

解析：b_n=，3a_n+1=a_n  ∴b_n=2a_n+1，

∴b₁+b₂+…+b_n=2（a₁+a₂+…+a_n）－2a₁

∵｛a_n｝是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列

∴（b₁+b₂+…+b_n）=［2（a₁+a₂+…+a_n）－2a₁］=2×－2×2=2.

33.答案：－4

解析：

^※34.答案：e⁴

解析：.

35.答案：－2<r<0

解析：∵1=1，又∵［1+（r+1）ⁿ］=1，

∴ {［1+（r+1）ⁿ］^－}=1－1=0，即（r+1）ⁿ=0.

則－1<r+1<1，因此－2<r<0.

^※36.答案：e

解析：.

37.答案：1

解析：log₃x==－log₃2=log₃，故x=，

于是x+x²+x³+…+xⁿ+…=.

^※38.答案：y=54.8（1+x%）⁸

解析：因?yàn)?i>y₁=54.8，y₂=54.8（1+x%），y₃=54.8（1+x%）²

從1992年底到2000年底共經(jīng)過(guò)8年，因此有：y=54.8（1+x%）⁸

39.（Ⅰ）證明：記r_n為圓O_n的半徑，則r₁=tan30°=.

=sin30°=，所以r_n=r_n－1（n≥2）

于是a₁=πr₁²=

故{a_n}成等比數(shù)列.

（Ⅱ）解：因?yàn)?i>a_n=（）^n－1a₁（n∈N^*）

所以（a₁+a₂+…+a_n）=.

評(píng)述：本題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、平面幾何、三角函數(shù)等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力與解決問(wèn)題的能力.

^※40.解：（1）此人在A、B公司第n年的月工資數(shù)分別為：

a_n=1500+230×（n－1） （n∈N^*）

b_n=2000（1+5%）^n－1（n∈N^*）

（2）若該人在A公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為12（a₁+a₂+…+a₁₀）=304200（元）

若該人在B公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為12（b₁+b₂+…+b₁₀）≈301869（元）

因?yàn)樵?i>A公司收入的總量高些，因此該人應(yīng)該選擇A公司.

（3）問(wèn)題等價(jià)于求C_n=a_n－b_n=1270+230n－2000×1.05^n－1（n∈N^*）的最大值.

當(dāng)n≥2時(shí)，C_n－C_n－1=230－100×1.05^n－2

當(dāng)C_n－C_n－1>0，即230－100×1.05^n－2>0時(shí)，1.05^n－2<2.3，得n<19.1

因此，當(dāng)2≤n≤19時(shí)，C_n－1<C_n；于是當(dāng)n≥20時(shí)，C_n≤C_n－1.

∴C₁₉=a₁₉－b₁₉≈827（元）

即在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多827元.

評(píng)述：本題主要考查數(shù)列等知識(shí)，考查建立數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

^※41.（Ⅰ）解：第1位職工的獎(jiǎng)金a₁＝，

第2位職工的獎(jiǎng)金a₂＝（1－）b，

第3位職工的獎(jiǎng)金a₃＝（1－）²b，

……

第k位職工的獎(jiǎng)金a_k＝（1－）^k－1b．

（Ⅱ）證明：a_k－a_k＋1＝（1－）^k－1b＞0，此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”等原則.

（Ⅲ）解：設(shè)f_k（b）表示獎(jiǎng)金發(fā)給第k位職工后所剩余款，則

f₁（b）＝（1－）b，f₂（b）＝（1－）²b，…，f_k（b）＝（1－）^kb，

得P_n（b）＝f_n（b）＝（1－）ⁿb，則．

42.（Ⅰ）解：當(dāng)n≥3時(shí)，x_n＝．

（Ⅱ）解：a₁＝x₂－x₁＝a，a₂＝x₃－x₂＝

由此推測(cè)a_n＝（）^n－1a（n∈N^*）.

用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（?）當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝x₂－x₁＝a＝（）⁰a，公式成立．

（?）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，公式成立，即a_k＝（）^k－1a成立.

那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

，公式仍成立．

根據(jù)（?）與（?）可知，對(duì)任意n∈N，公式a_n＝（）^n－1a成立．

（Ⅲ）解：當(dāng)n≥3時(shí)，有x_n＝（x_n－x_n－1）＋（x_n－1－x_n－2）＋…＋（x₂－x₁）＋x₁

＝a_n－1＋a_n－2＋…＋a₁，

由（Ⅱ）知｛a_n｝是公比為的等比數(shù)列，∴．

^※43.解：（Ⅰ）設(shè)n分鐘后第1次相遇，依題意，有2n＋＋5n＝70，

整理得n²＋13n－140＝0．

解得n＝7，n＝－20（舍去）．

第1次相遇是在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后7分鐘．

（Ⅱ）設(shè)n分鐘后第2次相遇，依題意，

有2n＋＋5n＝3×70．

整理得n²＋13n－6×70＝0．

解得n＝15，n＝－28（舍去）．

第2次相遇是在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后15分鐘．

^※44.解：2001年末汽車(chē)保有量為b₁萬(wàn)輛，以后各年末汽車(chē)保有量依次為b₂萬(wàn)輛，b₃萬(wàn)輛，…，每年新增汽車(chē)x萬(wàn)輛，則b₁＝30，b₂＝b₁×0．94＋x．

對(duì)于n＞1，有b_n＋1＝b_n×0．94＋x＝b_n－1×0．94²＋（1＋0．94）x，

……

∴b_n＋1＝b₁×0．94ⁿ＋x（1＋0．94＋…＋0．94^n－1）

＝b₁×0．94ⁿ＋．

當(dāng)≥0，即x≤1．8時(shí)，b_n＋1≤b_n≤…≤b₁＝30．

當(dāng)＜0，即x＞1．8時(shí)，

，并且數(shù)列｛b_n｝逐項(xiàng)增加，可以任意靠近．

因此，如果要求汽車(chē)保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，即b_n≤60（n＝1，2，3，…）

則≤60，即x≤3．6（萬(wàn)輛）．

綜上，每年新增汽車(chē)不應(yīng)超過(guò)3．6萬(wàn)輛．

45.（Ⅰ）解：由a₁＝2，得a₂＝a₁²－a₁＋1＝3，

由a₂＝3，得a₃＝a₂²－2a₂＋1＝4，

由a₃＝4，得a⁴＝a₃²－3a₃＋1＝5．

由此猜想a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式：a_n＝n＋1（n≥1）．

（Ⅱ）證明：（?）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n＝1，a₁≥3＝1＋2，不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立，即a_k≥k＋2，那么，

a_k＋1＝a_k（a_k－k）＋1≥（k＋2）（k＋2－k）＋1≥k＋3，

也就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)a_k＋1≥（k＋1）＋2．

根據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥1，有a_n≥n＋2．

（?）由a_n＋1＝a_n（a_n－n）＋1及（?），對(duì)k≥2，有

a_i＝a_k－1（a_k－1－k＋1）＋1≥a_k－1（k－1＋2－k＋1）＋1＝2a_k－1＋1，

……

∴a_k≥2^k－1a₁＋2^k－2＋…＋2＋1＝2^k－1（a₁＋1）－1．

于是，k≥2．

．

46.（Ⅰ）證明：由x₁＝a＞0，及x_n＋1＝（x_n＋），可歸納證明x_n＞0

從而有x_n＋1＝（x_n＋）≥（n∈N），

所以，當(dāng)n≥2時(shí)，x_n≥成立．

（Ⅱ）證法一：當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)?i>x_n≥＞0，x_n＋1＝，

所以x_n＋1－x_n＝≤0，

故當(dāng)n≥2時(shí)，x_n≥x_n＋1成立．

證法二：當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)?i>x_n≥＞0，x_n＋1＝，

所以=1，

故當(dāng)n≥2時(shí)，x_n≥x_n＋1成立．

注：第（Ⅲ）問(wèn)文科不做理科做

（Ⅲ）解：記，則=A，且A＞0．

由，得，

即A＝（A＋）．

由A＞0，解得A＝，故．

47.解：∵｛a_n｝為等差數(shù)列，｛b_n｝為等比數(shù)列，

∴a₂＋a₄＝2a₃，b₂b₄＝b₃²．

已知a₂＋a₄＝b₃，b₂b₄＝a₃，

∴b₃＝2a₃，a₃＝b₃²．

得 b₃＝2b₃²．

∵b₃≠0  ∴b₃＝，a₃＝．

由a₁＝1，a₃＝知｛a_n｝的公差為d＝，

∴S₁₀＝10a₁＋．

由b₁＝1，b₃＝知｛b_n｝的公比為q＝或q＝．

當(dāng)q＝時(shí)，，

當(dāng)q＝時(shí)，．

48.解：（Ⅰ）由＝a?b⁴，1＝a?b⁵，得b＝4，a＝，故f（x）＝4^x．

（Ⅱ）由題意a_n＝log₂（?4ⁿ）＝2n－10，

S_n＝（a₁＋a_n）＝n（n－9），a_nS_n＝2n（n－5）（n－9）．

由a_nS_n≤0，得（n－5）（n－9）≤0，即5≤n≤9.

故n＝5，6，7，8，9．

（Ⅲ）a₁S₁＝64，a₂S₂＝84，a₃S₃＝72，a₄S₄＝40．

當(dāng)5≤n≤9時(shí)，a_nS_n≤0．

當(dāng)n≥10時(shí)，a_nS_n≥a₁₀S₁₀＝100．

因此，96不是數(shù)列｛a_nS_n｝中的項(xiàng)．

^※49.解：（Ⅰ）當(dāng)n＝4時(shí)，只用2個(gè)單位時(shí)間即可完成計(jì)算．

方法之一如下：

（Ⅱ）當(dāng)n＝128＝2⁷時(shí)，至少需要7個(gè)單位時(shí)間才能完成計(jì)算.

50.（Ⅰ）解：由題設(shè)得a₃a₄＝10，且a₃、a₄均為非負(fù)整數(shù)，所以a₃的可能的值為1，2，5，10．

若a₃＝1，則a₄＝10，a₅＝，與題設(shè)矛盾．

若a₃＝5，則a₄＝2，a₅＝，與題設(shè)矛盾．

若a₃＝10，則a₄＝1，a₅＝60，a₆＝，與題設(shè)矛盾.

所以a₃＝2.

（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n＝3，a₃＝a₁＋2，等式成立．

②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥3）時(shí)等式成立，即a_k＝a_k－2＋2,由題設(shè)a_k＋1a_k＝（a_k－1＋2）?（a_k－2＋2），因?yàn)?i>a_k＝a_k－2＋2≠0，所以a_k＋1＝a_k－1＋2，

也就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式a_k＋1＝a_k－1＋2成立．

根據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥3，有a_n+1=a_n－1+2.

（Ⅲ）解：由a_2k－1＝a_{2（k－1）－1}＋2，a₁＝0，及a_2k＝a_2（k－1）＋2，a₂＝3得a_2k－1＝2（k－1），a_2k＝2k＋1，k＝1，2，3，…．

即a_n＝n＋（－1）ⁿ，n＝1，2，3，….

所以S_n＝

評(píng)述：本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，以及準(zhǔn)確表述，分析和解決問(wèn)題的能力．

51.解：（Ⅰ）設(shè)公比為q，公差為d，等比數(shù)列1，a₁，a₂，……，a_n，2，等差數(shù)列1，b₁，b₂，……，b_n，2

則A₁＝a₁＝1?q  A₂＝1?q?1?q²  A₃＝1?q?1?q²?1?q³

又∵a_n＋2＝1?q^n＋1＝2得q^n＋1＝2

A_n＝q?q²…qⁿ＝q（n＝1，2，3…）

又∵b_n＋2＝1＋（n＋1）d＝2  ∴（n＋1）d＝1

B₁＝b₁＝1＋d  B₂＝b₂＋b₁＝1＋d＋1＋2d  B_n＝1＋d＋…＋1＋nd＝n

（Ⅱ）A_n＞B_n，當(dāng)n≥7時(shí)

證明：當(dāng)n＝7時(shí)，2^3．5＝8?＝A_n  B_n＝×7，∴A_n＞B_n

設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，A_n＞B_n，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，             

又∵A_k+1＝?   且A_k＞B_k  ∴A_k＋1＞?k

∴A_k＋1－B_k＋1＞

又∵k＝8，9，10…  ∴A_k＋1－B_k＋1＞0，綜上所述，A_n＞B_n成立.

^※52.解：（Ⅰ）第1年投入800萬(wàn)元，第2年投入800×（1－）萬(wàn)元……，第n年投入800×（1－）^n－1萬(wàn)元

所以總投入a_n＝800＋800（1）＋…＋800（1）^n－1＝4000［1－（）ⁿ］

同理，第1年收入400萬(wàn)元，第2年收入400×（1＋）萬(wàn)元，……，第n年收入400×（1＋）^n－1萬(wàn)元

b_n＝400＋400×（1＋）＋…＋400×（1＋）^n－1＝1600×［（）ⁿ－1］

（Ⅱ）∴b_n－a_n＞0，1600［（）ⁿ－1］－4000×［1－（）ⁿ］＞0

化簡(jiǎn)得，5×（）ⁿ＋2×（）ⁿ－7＞0

設(shè)x＝（）ⁿ，5x²－7x＋2＞0

∴x＜，x＞1（舍），即（）ⁿ＜，n≥5

評(píng)述：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

^※53.解：（Ⅰ）∵f（x）的定義域D＝（－∞?－1）∪（－1，＋∞）

∴數(shù)列｛x_n｝只有三項(xiàng)x₁＝，x₂＝，x₃＝－1

（Ⅱ）∵f（x）＝＝x即x²－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2

即x₀＝1或2時(shí)，x_n＋1＝＝x_n

故當(dāng)x₀＝1時(shí)，x₀＝1；當(dāng)x₀＝2時(shí)，x_n＝2（n∈N）

（Ⅲ）解不等式x＜，得x＜－1或1＜x＜2，

要使x₁＜x₂，則x₂＜－1或1＜x₁＜2

對(duì)于函數(shù)f（x）＝

若x₁＜－1，則x₂＝f（x₁）＞4，x₃＝f（x₂）＜x₂

當(dāng)1＜x₁＜2時(shí)，x₂＝f（x）＞x₁且1＜x₂＜2

依次類(lèi)推可得數(shù)列｛x_n｝的所有項(xiàng)均滿足x_n＋1＞x_n（n∈N）

綜上所述，x₁∈（1，2），由x₁＝f（x₀），得x₀∈（1，2）

54.解：（1）由S_n=4（1－），得S_n+1=4（1－）=S_n+2（n∈N^*）

（2）要使>2，只要.

因?yàn)?i>S_k=4（1－）<4.所以S_k－（S_k－2）=2－S_k>0（k∈N^*）

故只要S_k－2<c<S_k（k∈N^*）   ①

因?yàn)?i>S_k+1>S_k（k∈N^*），所以S_k－2≥S₁－2=1.

又S_k<4，故要使①成立，c只能取2或3.

當(dāng)c=2時(shí)，因?yàn)?i>S₁=2，所以當(dāng)k=1時(shí)，c<S_k不成立，從而①不成立.

因?yàn)?sub>S₂－2=>c，由S_k<S_k+1（k∈N^*），

得S_k－2<S_k+1－2，所以當(dāng)k≥2時(shí)，S_k－2>c，從而①不成立.

當(dāng)c=3時(shí)，因?yàn)?i>S₁=2，S₂=3，所以當(dāng)k=1，2時(shí)，c<S_k不成立，從而①不成立.

因?yàn)?sub>S₃－2=>c，又S_k－2<S_k+1－2，

所以當(dāng)k≥3時(shí)，S_k－2>c，從而①不成立.

故不存在自然數(shù)c，k，使成立.

評(píng)述：本題主要考查等比數(shù)列、不等式知識(shí)，以及探索和討論存在性問(wèn)題的能力，是高考試題的熱點(diǎn)題型.

55.解：（1）由已知a₁=a，a₂=4，a₃=3a，∴a₃－a₂=a₂－a₁，即4a=8，∴a=2.

∴首項(xiàng)a₁=2，d=2

S_k=k?a₁+d得k?2+d=2550

∴k²+k－2550=0，解得k=50或k=－51（舍去）

∴a=2，k=50.

（2）由S_n=na₁+d，得S_n=n（n+1）

∴

∴

評(píng)述：本題考查數(shù)列和數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力和運(yùn)算能力.

56.解：（Ⅰ）函數(shù)圖象：

說(shuō)明：圖象過(guò)（0，）、（，1）、（1，0）點(diǎn)；在區(qū)間［0，］上的圖象為上凸的曲線段；在區(qū)間［，1］上的圖象為直線段.

（Ⅱ）f₂（x）＝－2x＋2，x∈［，1］的反函數(shù)為：y=1－，

x∈［0，1］．

由已知條件得：a₁＝1，

a₂＝1－a₁＝1－，

a₃＝1－a₂＝1－＋（）²，

a₄＝1＋（－）¹＋（－）²＋（－）³，

……

∴a_n＝（－）⁰＋（－）¹＋（－）²＋…＋（－）^n－1

即a_n＝［1－（－）ⁿ］，

∴.

（Ⅲ）由已知x₀∈［0，，∴x₁＝f₁（x₀）＝1－2（x₀－）²，

由f₁（x）的值域，得x₁∈［，1］．

∴f₂（x₁）＝2－2［1－2（x₀－）²］＝4（x₀－）²．

由f₂（x₁）＝x₀，整理得4x₀²－5x₀＋1＝0，

解得x₀＝1，x₀＝．

因?yàn)?i>x₀∈［0，，所以x₀＝．

評(píng)述：本小題主要考查函數(shù)及數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，考查分析、歸納、推理、運(yùn)算的能力.