立體幾何題怎么解

安振平      

高考立體幾何試題一般共有4道(客觀題3道, 主觀題1道), 共計總分27分左右,考查的知識點(diǎn)在20個以內(nèi). 選擇填空題考核立幾中的計算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施,立體幾何考題正朝著”多一點(diǎn)思考,少一點(diǎn)計算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證,角與距離的探求是�？汲Ｐ碌臒衢T話題.

       例1  四棱錐P―ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD.

       （1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；

       （2）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°

講解:（1）正方形ABCD是四棱錐P―ABCD的底面, 其面積

為從而只要算出四棱錐的高就行了.

面ABCD,

       ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，

    ∴PA⊥DA，

    ∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角，

      ∠PAB=60°.                

      而PB是四棱錐P―ABCD的高，PB=AB?tan60°=a,

     .                                                                 

（2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.

      作AE⊥DP，垂足為E，連結(jié)EC，則△ADE≌△CDE，

         是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.

          設(shè)AC與DB相交于點(diǎn)O，連結(jié)EO，則EO⊥AC，

      在

     故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°.                                

    本小題主要考查線面關(guān)系和二面角的概念，以及空間想象能力和邏輯推理能力, 具有一定的探索性, 是一道設(shè)計新穎, 特征鮮明的好題.

例2  如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90⁰，AC=1，C點(diǎn)到AB₁的距離為CE=，D為AB的中點(diǎn).

（1）求證：AB­₁⊥平面CED；

（2）求異面直線AB₁與CD之間的距離；

（3）求二面角B₁―AC―B的平面角.

講解:（1）∵D是AB中點(diǎn)，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90⁰，∴CD⊥AB又AA₁⊥平面ABC，∴CD⊥AA₁.

∴CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥AB₁，又CE⊥AB₁， ∴AB₁⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥DE

∵AB₁⊥平面CDE  ∴DE⊥AB₁

∴DE是異面直線AB₁與CD的公垂線段

∵CE=，AC=1 , ∴CD=

∴；

（3）連結(jié)B₁C，易證B₁C⊥AC，又BC⊥AC ,

∴∠B₁CB是二面角B₁―AC―B的平面角.

在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,

∴∠B₁AC=60⁰

∴，  ∴,

∴  , ∴.

作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當(dāng)然, 準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石.

例3  如圖a―l―是120°的二面角，A，B兩點(diǎn)在棱上，AB=2，D在內(nèi)，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在內(nèi)，ABC是等腰直角三角形∠ACB=

（I）求三棱錐D―ABC的體積；

（2）求二面角D―AC―B的大小；     

（3）求異面直線AB、CD所成的角.

  講解:  (1) 過D向平面做垂線，垂足為O，連強(qiáng)OA并延長至E.

為二面角a―l―的平面角..

是等腰直角三角形，斜邊AB=2.又D到平面的距離DO=

（2）過O在內(nèi)作OM⊥AC,交AC的反向延長線于M,連結(jié)DM.則AC⊥DM.∴∠DMO  為二面角D―AC―B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且

  （3）在平在內(nèi)，過C作AB的平行線交AE于F，∠DCF為異面直線AB、CD所成的角.  為等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距離，即△ABC斜邊上的高,

異面直線AB,CD所成的角為arctg

    比較例2與例3解法的異同, 你會得出怎樣的啟示? 想想看.

    例4

                        圖①                        圖②

   講解:  設(shè)容器的高為x．則容器底面正三角形的邊長為,

                .

    當(dāng)且僅當(dāng) .

故當(dāng)容器的高為時，容器的容積最大，其最大容積為

對學(xué)過導(dǎo)數(shù)的同學(xué)來講，三次函數(shù)的最值問題用導(dǎo)數(shù)求解是最方便的，請讀者不妨一試. 另外，本題的深化似乎與2002年全國高考文科數(shù)學(xué)壓軸題有關(guān)，還請做做對照. 類似的問題是:

       某企業(yè)設(shè)計一個容積為V的密閉容器，下部是圓柱形，上部是半球形，當(dāng)圓柱的底面半徑r和圓柱的高h(yuǎn)為何值時，制造這個密閉容器的用料最�。�即容器的表面積最�。�.

   例5 已知三棱錐P―ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DE⊥AP于E．

    （1）求證：AP⊥平面BDE；                

（2）求證：平面BDE⊥平面BDF；

（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱錐

P―ABC所成兩部分的體積比．

講解:  (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．

由AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．

  （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，得DF//AP．

由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．

又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．

  （3）設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)A到平面PBC的距離分別為h₁和h₂．則

           h₁∶h₂=EP∶AP=2∶3,

    故截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分體積的比為1∶2或2∶1

值得注意的是, “截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分的體積比”并沒有說明先后順序, 因而最終的比值答案一般應(yīng)為兩個, 希不要犯這種”會而不全”的錯誤.

例6  已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，它被過底面中心O₁且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）

為p的拋物線.

（1）求圓錐的母線與底面所成的角；

（2）求圓錐的全面積．

    講解: （1）設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長為l，

由題意得：,

即,

所以母線和底面所成的角為

（2）設(shè)截面與圓錐側(cè)面的交線為MON，其中O為截面與

AC的交點(diǎn)，則OO₁//AB且

在截面MON內(nèi)，以O(shè)O₁所在有向直線為y軸，O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則O為拋物的頂點(diǎn)，所以拋物線方程為x²=－2py，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（R，－R），代入方程得

R²=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p.

∴圓錐的全面積為.

將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預(yù)示了高考命題的新動向. 類似請思考如下問題:

     一圓柱被一平面所截，截口是一個橢圓．已知橢圓的長軸長為5，短軸長為4，被截后幾何體的最短側(cè)面母線長為1，則該幾何體的體積等于          ．

   例7 如圖，幾何體ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F(xiàn)、G分別為EB和AB的中點(diǎn).

（2）求證：AF⊥BD；

 (3) 求二面角B―FC―G的正切值.

講解: ∵F、G分別為EB、AB的中點(diǎn)，

∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC，

    ∴四邊形FGCD為平行四邊形，∴FD∥GC，又GC面ABC，

    ∴FD∥面ABC.

（2）∵AB=EA，且F為EB中點(diǎn)，∴AF⊥EB  ①  又FG∥EA，EA⊥面ABC

∴FG⊥面ABC ∵G為等邊△ABC，AB邊的中點(diǎn)，∴AG⊥GC.

∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD  ②

由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.

       （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.

過G作GH⊥FC，垂足為H，連HB，∴HB⊥FC.

∴∠GHB為二面角B-FC-G的平面角.

易求.

       例8  如圖，正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P、Q分別是線段AD₁和BD上的點(diǎn)，且

D₁P∶PA=DQ∶QB=5∶12.

(1) 求證PQ∥平面CDD₁C₁；

 (2) 求證PQ⊥AD；

 (3) 求線段PQ的長.

講解:  （1）在平面AD₁內(nèi)，作PP₁∥AD與DD₁交于點(diǎn)P₁，在平面AC內(nèi)，作

QQ₁∥BC交CD于點(diǎn)Q₁，連結(jié)P₁Q₁.

    ∵ ,     ∴PP₁QQ₁ .?

由四邊形PQQ₁P₁為平行四邊形,   知PQ∥P₁Q₁? ?

而P₁Q₁平面CDD₁C₁，  所以PQ∥平面CDD₁C₁?

（2）AD⊥平面D₁DCC₁，    ∴AD⊥P₁Q₁，?

又∵PQ∥P₁Q₁，   ∴AD⊥PQ.?

（3）由（1）知P₁Q₁ PQ,

，而棱長CD=1.     ∴DQ₁=.  同理可求得 P₁D=.

在Rt△P₁DQ₁中，應(yīng)用勾股定理, 立得

P₁Q₁=.?

做為本題的深化, 筆者提出這樣的問題: P, Q分別是BD,上的動點(diǎn),試求的最小值, 你能夠應(yīng)用函數(shù)方法計算嗎? 試試看. 并與如下2002年全國高考試題做以對照, 你會得到什么啟示?

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動，點(diǎn)N在BF上移動，若CM=BN=

（1）       求MN的長；

（2）       當(dāng)為何值時，MN的長最小；

（3）       當(dāng)MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。

立體幾何知識是復(fù)課耗時較多, 而考試得分偏底的題型. 只有放底起點(diǎn), 依據(jù)課本, 熟化知識, 構(gòu)建空間思維網(wǎng)絡(luò), 掌握解三角形的基本工具, 嚴(yán)密規(guī)范表述, 定會突破解答立幾考題的道道難關(guān).