解析幾何題怎么解

安振平     

       高考解析幾何試題一般共有4題(2個(gè)選擇題, 1個(gè)填空題, 1個(gè)解答題), 共計(jì)30分左右, 考查的知識(shí)點(diǎn)約為20個(gè)左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點(diǎn), 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識(shí). 解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn), 通過知識(shí)的重組與鏈接, 使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, 求解有時(shí)還要用到平幾的基本知識(shí),  這點(diǎn)值得考生在復(fù)課時(shí)強(qiáng)化.

    例1  已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=t  (0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

(1)寫出直線的方程；

   （2）計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；

   （3）證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點(diǎn)Q.                  

   講解:  通過讀圖,  看出點(diǎn)的坐標(biāo).

(1 ) 顯然,  于是 直線

的方程為；

   （2）由方程組

解出  、；              

   （3）,

        .

   由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光線通過點(diǎn)Q.

       需要注意的是, Q點(diǎn)的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?

例2  已知直線l與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程．

   講解：從直線所處的位置, 設(shè)出直線的方程,

   由已知，直線l不過橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為

代入橢圓方程 得

化簡(jiǎn)后，得關(guān)于的一元二次方程

于是其判別式

由已知，得△=0．即  ①

在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得

 令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），  由已知，得

 代入①式并整理，得 ,  即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程．

       方程形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 你能畫出它的圖形嗎?

   例3已知雙曲線的離心率，過的直線到原點(diǎn)的距離是

 （1）求雙曲線的方程；

 （2）已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.

  講解：∵（1）原點(diǎn)到直線AB：的距離.

     故所求雙曲線方程為

（2）把中消去y，整理得 .

     設(shè)的中點(diǎn)是，則

即

故所求k=±.

為了求出的值, 需要通過消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程.

   例4 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠F₁PF₂的最大值為90°，直線l過左焦點(diǎn)F₁與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△ABF₂的面積最大值為12．

  （1）求橢圓C的離心率；

  （2）求橢圓C的方程．

   講解：（1）設(shè), 對(duì) 由余弦定理, 得

  ，

解出  

 （2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況：

   i) 當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)l的方程為………………①

  橢圓方程為

 由   得   .

于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為  ………………②

將①代入②，消去得     ,

整理為的一元二次方程，得       .

則x₁、x₂是上述方程的兩根．且

，

ii) 當(dāng)k不存在時(shí)，把直線代入橢圓方程得

由①②知S的最大值為  由題意得=12  所以   

  故當(dāng)△ABF₂面積最大時(shí)橢圓的方程為：

下面給出本題的另一解法,請(qǐng)讀者比較二者的優(yōu)劣：

設(shè)過左焦點(diǎn)的直線方程為：…………①

（這樣設(shè)直線方程的好處是什么？還請(qǐng)讀者進(jìn)一步反思反思.）

橢圓的方程為：

由得：于是橢圓方程可化為：……②

把①代入②并整理得：

于是是上述方程的兩根.

,

AB邊上的高,

從而

當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號(hào)，即

    由題意知,  于是  .

    故當(dāng)△ABF₂面積最大時(shí)橢圓的方程為：

      例5  已知直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線上.

（１）求此橢圓的離心率；

（2 ）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的在圓上，求此橢圓的方程.

      講解:（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 得

,   

根據(jù)韋達(dá)定理，得           

 ∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）. 

 由已知得

  故橢圓的離心率為 .

 （2）由（1）知從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為

解得     

由已知得

故所求的橢圓方程為 .

      例6   已知⊙M：軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)，（1）如果，求直線MQ的方程；

      （2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.

      講解:（1）由，可得由射影定理，得   在Rt△MOQ中，

  ，

    故，

    所以直線AB方程是

    （2）連接MB，MQ，設(shè)由

點(diǎn)M，P，Q在一直線上，得

由射影定理得

即 把（*）及（**）消去a，并注意到，可得

      適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí)，這是快速解答本題的要害所在，還請(qǐng)讀者反思其中的奧妙.

    例7   如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點(diǎn)，OA=OB，DO=2，曲線E過C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng)，且保持| PA |+| PB |的值不變.

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；

（2）過D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間，設(shè)，

   試確定實(shí)數(shù)的取值范圍．

講解: （1）建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖所示 .                                      

    ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |                                        y

      =

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓 .                                                

∵                                                                                 

∴曲線E的方程是  .

   （2）設(shè)直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得

設(shè)M₁（,  則

i)  L與y軸重合時(shí)，                          

ii)  L與y軸不重合時(shí)，

  由①得  

  又∵,

∵  或 

∴0＜＜1 ,                                              

∴ .                  

∵

而  ∴

∴                            

∴ ,  ,

∴的取值范圍是 .   

    值得讀者注意的是，直線L與y軸重合的情況易于遺漏，應(yīng)當(dāng)引起警惕.

    例8  直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A兩點(diǎn).

   （1）求證：;

   （2）求證：對(duì)于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.

  講解: （1）易求得拋物線的焦點(diǎn).

  若l⊥x軸，則l的方程為.

若l不垂直于x軸，可設(shè),代入拋物線方程整理得             .

綜上可知  .

（2）設(shè)，則CD的垂直平分線的方程為

假設(shè)過F，則整理得

，.

這時(shí)的方程為y=0，從而與拋物線只相交于原點(diǎn). 而l與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線.

       此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識(shí)在記憶中積累，能力在聯(lián)想中提升. 課本是高考試題的生長(zhǎng)點(diǎn)，復(fù)課切忌忘掉課本！

       例9 某工程要將直線公路l一側(cè)的土石，通過公路上的兩個(gè)道口A和B，沿著道路AP、BP運(yùn)往公路另一側(cè)的P處，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，試說明怎樣運(yùn)土石最省工？

       講解: 以直線l為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)對(duì)立直角坐標(biāo)系，則在l一側(cè)必存在經(jīng)A到P和經(jīng)B到P路程相等的點(diǎn)，設(shè)這樣的點(diǎn)為M，則

      |MA|+|AP|=|MB|+|BP|,

即   |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,

,

∴M在雙曲線的右支上.

故曲線右側(cè)的土石層經(jīng)道口B沿BP運(yùn)往P處，曲線左側(cè)的土石層經(jīng)道口A沿AP運(yùn)往P處，按這種方法運(yùn)土石最省工.

相關(guān)解析幾何的實(shí)際應(yīng)用性試題在高考中似乎還未涉及，其實(shí)在課本中還可找到典型的范例，你知道嗎？

解析幾何解答題在歷年的高考中�？汲Ｐ�, 體現(xiàn)在重視能力立意, 強(qiáng)調(diào)思維空間, 是用活題考死知識(shí)的典范. 考題求解時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化, 數(shù)形結(jié)合, 分類討論, 函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想, 以及定義法, 配方法, 待定系數(shù)法, 參數(shù)法, 判別式法等數(shù)學(xué)通法.