解析幾何綜合題解題思路案例分析

       北京中國人民大學附中    梁麗平

       陜西省咸陽市永壽中學    安振平

解析幾何綜合題是高考命題的熱點內(nèi)容之一. 這類試題往往以解析幾何知識為載體，綜合函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識，所涉及到的知識點較多，對解題能力考查的層次要求較高，考生在解答時，常常表現(xiàn)為無從下手，或者半途而廢。據(jù)此筆者認為：解決這一類問題的關鍵在于：通觀全局，局部入手，整體思維. 即在掌握通性通法的同時，不應只形成一個一個的解題套路，解題時不加分析，跟著感覺走，做到那兒算那兒. 而應當從宏觀上去把握，從微觀上去突破，在審題和解題思路的整體設計上下功夫，不斷克服解題征途中的道道運算難關.

1   判別式----解題時時顯神功

案例1  已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線的距離為，試求的值及此時點B的坐標。

分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設計如下解題思路：

解題過程略.

分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應當把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線的距離為”，相當于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設計出如下解題思路：

有唯一解

簡解：設點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為：

于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關于的方程.

由于，所以，從而有

于是關于的方程

 由可知：

 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于

.

    由如上關于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得  .

點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.

2   判別式與韋達定理-----二者聯(lián)用顯奇效

案例2  已知橢圓C:和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程.

分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設法將點Q的橫、縱坐標用參數(shù)表達，最后通過消參可達到解題的目的.

由于點的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點共線，不難得到，要建立與的關系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.

通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).

    在得到之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。

簡解：設，則由可得：，

解之得：              （1）

設直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關于 x的一元二次方程：

      （2）

∴  

代入（1），化簡得：                                (3)

與聯(lián)立，消去得：

在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得

故知點Q的軌跡方程為：  （）.

點評：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到. 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.

3   求根公式-----呼之欲出亦顯靈

案例3  設直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值范圍.

分析：本題中，絕大多數(shù)同學不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關系式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其二則是構(gòu)造關于所求量的一個不等關系.

分析1: 從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個關系式，但由于有兩個變量，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量――直線AB的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關于k的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

簡解1：當直線垂直于x軸時，可求得;

當與x軸不垂直時，設，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得

解之得 

因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮的情形.

當時，，，

所以 ===.

由  , 解得 ，

所以   ，

綜上  .

分析2: 如果想構(gòu)造關于所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于不是關于的對稱關系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關于的對稱關系式.

簡解2：設直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得

         （*）

則

令，則，

在（*）中，由判別式可得 ，

從而有    ，

所以     ，

解得      .

結(jié)合得.

綜上，.

點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.

解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里.