二次函數(shù)綜合問題例談

       北京中國人民大學(xué)附中    梁麗平

          陜西省咸陽市永壽中學(xué)    安振平

二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡單又具有豐富的內(nèi)涵和外延. 作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系.  這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題.　同時，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進入高校繼續(xù)深造的重要知識基礎(chǔ). 因此，從這個意義上說，有關(guān)二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為奇了.

    學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題.

1.    代數(shù)推理

由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了，易于變形（一般式、頂點式、零點式等），所以，在解決二次函數(shù)的問題時，常常借助其解析式，通過純代數(shù)推理，進而導(dǎo)出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

1.1  二次函數(shù)的一般式中有三個參數(shù). 解題的關(guān)鍵在于：通過三個獨立條件“確定”這三個參數(shù).

例1 　已知，滿足1且，求的取值范圍.

分析：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值，而是與條件相對應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以把1和當(dāng)成兩個獨立條件，先用和來表示.

解：由，可解得：

      （*）

將以上二式代入，并整理得

　　　　　,

∴ .

又∵，,

∴ .

例2  設(shè)，若，，, 試證明：對于任意，有.

分析：同上題，可以用來表示.

解：∵ ,

∴ ,

∴ .

∴ 當(dāng)時，

當(dāng)時，

綜上，問題獲證.

1.2  利用函數(shù)與方程根的關(guān)系，寫出二次函數(shù)的零點式

例３　設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個根滿足.  當(dāng)時，證明.

分析：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達式，從而得到函數(shù)的表達式.

證明：由題意可知.

,

∴ ,

∴  當(dāng)時，.

又,

∴  ,

綜上可知，所給問題獲證.

1.3  緊扣二次函數(shù)的頂點式對稱軸、最值、判別式顯合力

例4   已知函數(shù)。

（1）將的圖象向右平移兩個單位，得到函數(shù)，求函數(shù)的解析式；

（2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，求函數(shù)的解析式；

（3）設(shè)，已知的最小值是且，求實數(shù)的取值范圍。

解：(1)

(2)設(shè)的圖像上一點，點關(guān)于的對稱點為，由點Q在的圖像上，所以

        ，

于是      

即        

（3）.

設(shè)，則.

問題轉(zhuǎn)化為：對恒成立.  即

          對恒成立.     （*）

故必有.（否則，若，則關(guān)于的二次函數(shù)開口向下，當(dāng)充分大時，必有；而當(dāng)時，顯然不能保證（*）成立.），此時，由于二次函數(shù)的對稱軸，所以，問題等價于，即，

解之得：.

此時，，故在取得最小值滿足條件.

2.  數(shù)形結(jié)合

二次函數(shù)的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對稱性、單調(diào)性、凹凸性等. 結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問題，可以化難為易.，形象直觀.

2.1  二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱， 特別關(guān)系也反映了二次函數(shù)的一種對稱性.

例5  設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個根滿足.  且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，證明：.

解：由題意 .

由方程的兩個根滿足, 可得

且,

∴ ，

即  ，故  .

2.2 二次函數(shù)的圖像具有連續(xù)性，且由于二次方程至多有兩個實數(shù)根. 所以存在實數(shù)使得且在區(qū)間上，必存在的唯一的實數(shù)根.

例6  已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個實數(shù)根為和.

（1）如果，設(shè)函數(shù)的對稱軸為，求證：；

（2）如果，，求的取值范圍.

分析：條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉(zhuǎn)化.

解：設(shè)，則的二根為和.

（1）由及，可得  ，即，即

兩式相加得，所以，;

（2）由, 可得  .

又，所以同號.

∴ ，等價于或,

即   或

解之得  或.

2.3  因為二次函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調(diào)，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點或頂點處取得；函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點或頂點處取得.

例7  已知二次函數(shù)，當(dāng)時，有，求證：當(dāng)時，有.

分析：研究的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個意義上說，應(yīng)該盡量用已知條件來表達參數(shù). 確定三個參數(shù)，只需三個獨立條件，本題可以考慮，，，這樣做的好處有兩個：一是的表達較為簡潔，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點和中點，這樣做能夠較好地利用條件來達到控制二次函數(shù)范圍的目的.

要考慮在區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮在區(qū)間端點和頂點處的函數(shù)值.

解：由題意知：，

∴ ，

∴ .

由時，有，可得 .

∴  ,

.

    （1）若，則在上單調(diào)，故當(dāng)時，

∴  此時問題獲證.

（2）若，則當(dāng)時，                 

又，

∴  此時問題獲證.

綜上可知：當(dāng)時，有.