2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（理工類 湖南卷）

 

第Ⅰ卷（選擇題  共60分）

 

一、選擇題：本大題 共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求的.

（1）復(fù)數(shù)的值是                                                                                              

試題詳情

       （A）                  （B）－               （C）4                     （D）－4

試題詳情

（2）如果雙曲線上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離等于，那么點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離是                      

試題詳情

       （A）                 （B）13                   （C）5                     （D）

試題詳情

（3）設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，若，則

試題詳情

的值為                                                                                               

試題詳情

（A）1                    （B）2                     （C）3                     （D）

（4）把正方形ABCD沿對角線AC折起，當(dāng)A、B  C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時，直線BD與平面ABC所成的角的大小為                                                                              

（A）90°               （B）60°               （C）45°               （D）30°

（5）某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150 個、120個、180個、150個銷售點(diǎn)。公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點(diǎn)中抽取一個容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②。則完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是

（A）分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法               （B）分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣法

       （C）系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法               （D）簡單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法

試題詳情

（6）設(shè)函數(shù)則關(guān)于x的方程

試題詳情

解的個數(shù)為                                                                                       

（A）1                    （B）2                     （C）3                     （D）4

試題詳情

（7）設(shè)則以下不等式中不恒成立的是                                                       （A）   （B）

試題詳情

       （C）                   （D）

試題詳情

（8）數(shù)列           （A） （B） （C） （D）

試題詳情

試題詳情

       （A）                                                               （B）

試題詳情

       （C）                                                               （D）

（10）從正方體的八個頂點(diǎn)中任取三個點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，其中直角三角形的個數(shù)為    （A）56 （B）52 （C）48 （D）40

（11）農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成。2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元), 預(yù)計(jì)該地區(qū)自2004年起的5 年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其它收入每年增加160元。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于                           

       （A）4200元~4400元                                                             （B）4400元~4600元

     （C）4600元~4800元                          （D）4800元~5000元

試題詳情

（12）設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時，

試題詳情

且則不等式的解集是                 

試題詳情

（A）                            （B）

試題詳情

（C）                         （D）

 

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

 

試題詳情

二、填空題：本大題 共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。

（13）已知向量a=，向量b=，則|2a－b|的最大值是             .

（14）同時拋物線兩枚相同的均勻硬幣，隨機(jī)變量ξ=1表示結(jié)果中有正面向上，ξ=0表示結(jié)果中沒有正面向上，則Eξ=             .

試題詳情

（15）若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84，則n=                .

試題詳情

（16）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個不同的點(diǎn)Pi（i=1，2，3，…）使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為            .

（17）（本小題滿分12分）

試題詳情

三、解答題：本大題 共6小題，共74分.  解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

已知的值.

 

                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（18）（本小題滿分12分）

試題詳情

甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.

（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工零件是一等品的概率；

（Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗(yàn)，求至少有一個一等品的概率.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（19）（本小題滿分12分）

試題詳情

如圖，在底面是菱形的四棱錐P―ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,點(diǎn)E在PD上，且PE:ED=2:1.

（I）證明PA⊥平面ABCD；

試題詳情

（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大�。�

（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF//平面AEC？證明你的結(jié)論.

 

 

 

 

 

 

（20）（本小題滿分12分）

試題詳情

已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù).

試題詳情

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

試題詳情

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

（21）（本小題滿分12分）

如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點(diǎn)P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).

試題詳情

（I）設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明:；

（II）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程.

試題詳情

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（22）（本小題滿分14分）

試題詳情

如圖，直線相交于點(diǎn)P.直線l1與x軸交于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q1，過點(diǎn)Q1作y軸的垂線交直線l1于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q2，…，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)P1、Q1、P2、Q2，…，點(diǎn)Pn（n=1，2，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列

試題詳情

（Ⅰ）證明；

試題詳情

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

試題詳情

（Ⅲ）比較的大小.

試題詳情

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

試題詳情

 

一．選擇題

（1）D      （2）A     （3）B       （4）C       （5）B     （6）C

（7）B      （8）C     （9）A       （10）C      （11）B    （12）D

二．填空題

（13）4   （14）0.75   （15）9    （16）

三．解答題

（17）解：由

                             

得    又

于是 

      

（18）解：（Ⅰ）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件.

①

②

③

  由①、③得  代入②得  27[P(C)]2－51P(C)+22=0.

解得  （舍去）.

將     分別代入 ③、②  可得 

即甲、乙、丙三臺機(jī)床各加工的零件是一等品的概率分別是

（Ⅱ）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗(yàn)，至少有一個一等品的事件，

則 

故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗(yàn)，至少有一個一等品的概率為

 

（19）（Ⅰ）證明  因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠ABC=60°，

由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

（Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，

則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角.

又PE : ED=2 : 1，所以

從而    

（Ⅲ）解法一  以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

所以

設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)，則

       令   得

解得      即 時，

亦即，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)時，、、共面.

又  BF平面AEC，所以當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時，BF//平面AEC.

解法二  當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時，BF//平面AEC，證明如下，


   

    
    

    
由   知E是MD的中點(diǎn).
連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點(diǎn).
所以  BM//OE.  ②
由①、②知，平面BFM//平面AEC.
又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC.
證法二
因?yàn)?nbsp; 
         

所以  、、共面.
又 BF平面ABC，從而BF//平面AEC.
（20）解：（Ⅰ）
（i）當(dāng)a=0時，令 
若上單調(diào)遞增；
若上單調(diào)遞減.
（ii）當(dāng)a<0時，令
若上單調(diào)遞減；
若上單調(diào)遞增；
若上單調(diào)遞減.
（Ⅱ）（i）當(dāng)a=0時，在區(qū)間[0，1]上的最大值是
（ii）當(dāng)時，在區(qū)間[0，1]上的最大值是.
（iii）當(dāng)時，在區(qū)間[0，1]上的最大值是
（21）解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得    
    
①
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是
、、x2是方程①的兩根.
所以     
由點(diǎn)P（0，m）分有向線段所成的比為，
得
又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，－m），從而.
               

               

所以  
（Ⅱ）由 得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（－4，4）.
由   得 
所以拋物線 在點(diǎn)A處切線的斜率為 
設(shè)圓C的方程是
則
解之得 
所以圓C的方程是  
即  
（22）（Ⅰ）證明：設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是，由已知條件得
點(diǎn)Qn、Pn+1的坐標(biāo)分別是：
由Pn+1在直線l1上，得  
所以    即  
（Ⅱ）解：由題設(shè)知 又由（Ⅰ）知 ，
所以數(shù)列  是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.
從而  
（Ⅲ）解：由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）.
所以  
    
（i）當(dāng)時，>1+9=10.
而此時  
（ii）當(dāng)時，<1+9=10.
而此時  
 

				
	

		



同步練習(xí)冊答案