2009年福建省龍巖市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（文科）試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁(yè). 全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差：                   s=，其中為樣本平均數(shù)；

柱體體積公式：V=Sh   ，其中S為底面面積，h為高；

錐體體積公式：V=Sh，其中S為底面面積，h為高；

球的表面積、體積公式：，，其中R為球的半徑.

第I卷（選擇題   共60分）

一、選擇題：本題共１2小題，每小題５分，共6０分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

1．已知全集，集合，，則等于

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A．                        B．                      C．               D．

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2．化簡(jiǎn)的結(jié)果是

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A．                             B．                        C．                      D．

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3．設(shè)是等比數(shù)列，若，則等于

   A．6                             B．8                            C．9                            D．16

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4．雙曲線的離心率為

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A．                           B．                         C．                          D．

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5．已知向量a?b=，| a | =4，a和b的夾角為，則| b |為

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A．1                             B．2                            C．4                   D．

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6．已知直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值是

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A．0                             B．10                         C．0或                 D．0或10

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7．已知三條直線的方程分別是，和，則這三條直線所圍成的三角形

面積為

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A．                         B．3                            C．                         D．6

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8． 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)

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的圖象，則的圖象

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A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

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B．關(guān)于軸對(duì)稱

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C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

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D．關(guān)于直線對(duì)稱

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9．已知某算法的流程圖如右圖所示，則輸出的結(jié)果是

A．3                           B．4

C．5                            D．6

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10．如圖，在正方體中，、、分別是

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棱、、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中：

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①；

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②；

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③；

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④.

正確結(jié)論的序號(hào)是

A．①和②                  B．③和④

C．       ①和③           　　D．②和④

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11．下列說(shuō)法正確的是

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A. 若，則

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B. 函數(shù)的零點(diǎn)落在區(qū)間內(nèi)

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C. 函數(shù)的最小值為2

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D. “”是“直線與直線互相平行”的充分條件 

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12  設(shè)函數(shù)  其中，，則的最大值為

A. 0                             B. 1　　　                   C. 2                             D. 3

第Ⅱ卷（非選擇題   共9０分）

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二、填空題：本大題共4小題，每小題４分，共16分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

13．已知是奇函數(shù)，則其圖象在點(diǎn)處的切線方程為          ．

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14．在長(zhǎng)40厘米，寬30厘米的游戲屏幕上飄飛著5個(gè)直徑均為

4厘米的圓形氣球，每個(gè)氣球顯示完整且不重疊．游戲玩家

對(duì)準(zhǔn)屏幕隨機(jī)射擊一次，則擊中氣球的概率為　　　　　．

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15．一個(gè)空間幾何體的三視圖如右圖所示，其正視圖、側(cè)視圖、

俯視圖均為等腰直角三角形，且直角邊長(zhǎng)都為1，則它的

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外接球的表面積是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．

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16．正整數(shù)的三次冪可拆分成幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如右圖所示，

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若的“拆分?jǐn)?shù)”中有一個(gè)數(shù)是2009，則的值為        ．

 

 

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三、解答題：本大題共６小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．

17．（本小題滿分12分）

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在中，，．

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（Ⅰ）求的值；

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（Ⅱ）若，求的面積．

 

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18．（本小題滿分12分）

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如圖，，其中四邊形是正

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方形，是等邊三角形，且，點(diǎn)、分別是

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、的中點(diǎn)．

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（Ⅰ）求三棱錐的體積；

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（Ⅱ）求證：；

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（Ⅲ）若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，求證：．

 

 

 

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19．（本小題滿分12分）

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等差數(shù)列中，，．

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（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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（Ⅱ）若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)和之間各插入一個(gè)數(shù)，使之成為新的數(shù)列，

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為數(shù)列的前項(xiàng)的和，求的值．

 

 

 

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20．（本小題滿分12分）

某公司欲招聘員工，從1000名報(bào)名者中篩選200名參加筆試，按筆試成績(jī)擇優(yōu)取50名面試，再?gòu)拿嬖噷?duì)象中聘用20名員工．

（Ⅰ）求每個(gè)報(bào)名者能被聘用的概率；

（Ⅱ）隨機(jī)調(diào)查了24名筆試者的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?/p>

分?jǐn)?shù)段

[60，65)

[65，70)

[70，75)

[75，80)

[80，85)

[85，90)

人數(shù)

1

2

6

9

5

1

請(qǐng)你預(yù)測(cè)面試的切線分?jǐn)?shù)大約是多少？

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（Ⅲ）公司從聘用的四男、、、和二女、中選派兩人參加某項(xiàng)培訓(xùn)，則選派結(jié)果為一男一女的概率是多少？

 

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分12分）

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已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)P在橢圓上，且的周長(zhǎng)為6．

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（Ⅰ）求橢圓的方程和的外接圓的方程；

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（Ⅱ）為橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且、均不在x軸上，設(shè)直線、的斜率分別為、，求的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22．（本小題滿分14分）

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設(shè)函數(shù)．

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（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

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（Ⅱ）令，以其圖象上任意一點(diǎn)為切

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點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

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    （Ⅲ）當(dāng)，時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2009年龍巖市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查

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說(shuō)明：

       一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.

       二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.

       三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

       四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分.

1. A   2. D   3. C   4. C   5. B   6. D   7. B   8. A   9. C   10. D   11. B   12. C

二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分.

13.         14.                 15.                 16.   

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟.

17. 本題主要考查三角函數(shù)的基本公式，考查運(yùn)算能力. 滿分12分.

解：（Ⅰ）在中，因?yàn)?sub>，

所以.   ……………………………（3分）

所以

.  …………………………（6分）

（Ⅱ）根據(jù)正弦定理得：，

所以. ……………………………（9分）

所以

. ………………………………………………………（12分）

18．本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想像能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能

力. 滿分12分.

解：（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE，

因?yàn)镚是等邊三角形ABE的邊AE的中點(diǎn)，所以BG⊥AE，……………（2分）

所以

　　　　　．…………………………………………（4分）

（Ⅱ）取DE中點(diǎn)M，連結(jié)MG、FM，

因?yàn)镸G  AD，BF  AD，所以MG　BF，

四邊形FBGM是平行四邊形，所以BG//FM.（6分）

又因?yàn)镕M平面EFD，BG平面EFD，

所以BG//平面EFD.         ………………（8分）

（Ⅲ）因?yàn)镈A⊥平面ABE，BG平面ABE，所以DA⊥BG. …………………（9分）

　　　又BG⊥AE，ADAE＝A，

　　　所以BG⊥平面DAE，又AP平面DAE，………………………………（11分）

　　　所以BG⊥AP.    ……………………………………………………………（12分）

19. 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及推理能力. 滿分12分.

解：（Ⅰ）設(shè)該等差數(shù)列的公差為，依題意得：  ………（2分）

解得：  ………………………………………………………（4分）

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.   ………………………………（6分）

（Ⅱ）依題意得：………………（9分）

.  ………（12分）

20. 本題主要考查概率、統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)，考查應(yīng)用意識(shí). 滿分12分.

解：（Ⅰ）設(shè)每個(gè)報(bào)名者能被聘用的概率為P，依題意有：

.

答：每個(gè)報(bào)名者能被聘用的概率為0.02.  ………………………………………（4分）

（Ⅱ）設(shè)24名筆試者中有x名可以進(jìn)入面試，依樣本估計(jì)總體可得：

　　  ，解得：，從表中可知面試的切線分?jǐn)?shù)大約為80分.

答：可以預(yù)測(cè)面試的切線分?jǐn)?shù)大約為80分.  ……………………………………（8分）

（Ⅲ）從聘用的四男、二女中選派兩人的基本事件有：（a,b）,( a,c) , (a, d) ,( a, e) ,

(a, f) ,( b, c) ,（b,d）,( b, e) ,( b, f) ,(c, d) ,（c, e）,( c, f) ,( d, e) ,( d, f) ,（e, f）,共15種.

選派一男一女參加某項(xiàng)培訓(xùn)的種數(shù)有:

     (a,e) ,( a, f) , (b,e) ,(b, f),（c,e）,(c, f) ,(d,e) ,(d, f)，共8種

所以選派結(jié)果為一男一女的概率為.

答：選派結(jié)果為一男一女的概率為.       …………………………………（12分）

21．本題主要考查圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和分析問題、

解決問題的能力. 滿分12分

解：（Ⅰ）由已知得，,所以

又，所以，橢圓C的方程為   ………（3分）

因?yàn)?sub>，所以，可求得或，…（5分）

所以的外接圓D的方程是或．

………………………………………………………………（7分）(少一解扣1分)

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（Ⅰ）得，，

可得，所以．…………………………………（8分）

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，顯然，

則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，

將代入方程，并化簡(jiǎn)得：

    ……………………………………（9分）

可得：，，     ……………………（10分）

所以

綜上，．  ………………………（12分）

22．本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式、方程的解等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)

數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 滿分14分.

解：（Ⅰ）依題意，知的定義域?yàn)?sub>.    …………………………………（1分）

當(dāng)時(shí)，，

.    ………………………………（2分）

令，解得.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減. ……………………………（3分）

所以的極大值為，此即為最大值 . ……………………（4分）

（Ⅱ），

所以，在上恒成立，………………（6分）

所以 ，…………………………………（7分）

當(dāng)時(shí)，取得最大值．所以． ………………（9分）

（Ⅲ）因?yàn)榉匠?sub>有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解．設(shè)，則.

令，得．

因?yàn)?sub>，

所以（舍去），， ………（10分）

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，，取最小值.  ……………………（11分）

因?yàn)?sub>有唯一解，所以．

則，即

所以，

因?yàn)?sub>，所以． …………………………（12分）

設(shè)函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解．  ………（13分）

因?yàn)?sub>，所以方程的解為，即，

解得                ……………………………………………（14分）

 

 

 


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