∴直線A₁C與平面B₁AC所成角的正弦值為                   …………9分

   （III）解：設(shè)為平面BCC₁B₁的一個(gè)法向量，

∴二面角B―B₁C―A的大小為

16、(北京市東城區(qū)2008年高三綜合練習(xí)二)如圖，在四棱錐P―ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PAB為等邊三角形.

   （1）求PC與平面ABCD所成角的大��；

   （2）求二面角B―AC―P的大��；

   （3）求點(diǎn)A到平面PCD的距離.

解法二：

   （1）解：同解法一………………5分

   （2）解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O―xyz，

則A（－1，0，0），B（1，0，0），

則P（0，0，），C（1，2，0）

    設(shè)為平面PAC的一個(gè)法向量，

    則

    又

  令z=1，得

    得

    又是平面ABC的一個(gè)法向量，

    設(shè)二面角B―AC―P的大小為，

則

………………10分

   （3）解：設(shè)為平面PCD的一個(gè)法向量.

    則 由D（－1，2，0），可知），

    可得a=0，令，則c=2.

    得，

    設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為d，則

     ∴點(diǎn)A到平面PCD的距離為

17、(北京市豐臺(tái)區(qū)2008年4月高三統(tǒng)一練習(xí)一)已知如圖(1)，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2a,CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊上的點(diǎn)，且滿足，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖（2）.

(Ⅰ) 試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；

(Ⅱ) 求二面角B-AC-D的大小；                                  圖（1）

(Ⅲ) 若異面直線AB與DE所成角的余弦值為，求k的值.

解：(Ⅰ) AB∥平面DEF. 在△ABC中，

∵ E、F分別是AC、BC上的點(diǎn)，且滿足，

∴ AB∥EF.                                                圖（2）

∵ AB平面DEF，EF平面DEF，∴ AB∥平面DEF. …………… 3分    

(Ⅱ)過D點(diǎn)作DG⊥AC于G，連結(jié)BG，

∵ AD⊥CD, BD⊥CD,

∴ ∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.

∴ ∠ADB=, 即BD⊥AD.

∴ BD⊥平面ADC. ∴ BD⊥AC.

∴ AC⊥平面BGD. ∴ BG⊥AC .

∴ ∠BGD是二面角B-AC-D的平面角. ……………………………… 5分

在ADC中，AD=a,  DC=, AC=2a,

∴ .

在Rt△BDG中，.

∴ .

即二面角B-AC-D的大小為.………………………………… 8分

 (Ⅲ)∵ AB∥EF, ∴ ∠DEF(或其補(bǔ)角)是異面直線AB與DE所成的角.… 9分

∵ ，∴ .

又DC=, ，

∴

  ………………… 11分

∴ .

∴ .  解得 k＝.

18、(北京市海淀區(qū)2008年高三統(tǒng)一練習(xí)一)如圖，四棱錐中，⊥底面，   ⊥．底面為梯形，，.，點(diǎn)在棱上，且．

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）求證：∥平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

證明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，

∴．

又AB⊥BC，，

∴⊥平面．                 2分

又平面，

∴平面⊥平面．           4分

（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，

∴AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影．

又∵PC⊥AD，

∴AC⊥AD．

在梯形中，由AB⊥BC，AB=BC，得，

∴．

又AC⊥AD，故為等腰直角三角形．

∴．

連接，交于點(diǎn)，則       7分

在中，，

∴

又PD平面EAC，EM平面EAC，

∴PD∥平面EAC．                                               9分

（Ⅲ）在等腰直角中，取中點(diǎn)，連結(jié)，則．

∵平面⊥平面，且平面平面=，

∴．

在平面內(nèi)，過作直線于，連結(jié)，由于是在平面內(nèi)的射影，故．

∴就是二面角A―CE―P的平面角．                          12分

在中，設(shè)，則，，，，

由，可知：∽，

∴

代入解得：．

在中，，∴．       13分

即二面角A―CE―P的大小為．                       14分

解法二：

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，，，.

5分

設(shè)，則

，

，

∴，解得：．

．

連結(jié)，交于點(diǎn)，

則.7分

在中，，

∴．

又PD平面EAC，EM平面EAC，

∴PD∥平面EAC．                                               9分

（Ⅲ）設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，

∴

解得：，∴．                        11分

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，

又，，∴

解得：，∴．                             12分

．                                     13分

∴二面角A―CE―P的大小為．

19、(北京市十一學(xué)校2008屆高三數(shù)學(xué)練習(xí)題)如圖，在正四棱錐中，,點(diǎn)在棱上．

(Ⅰ)問點(diǎn)在何處時(shí)，，并加以證明；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)到平面的距離；

(Ⅲ)求二面角的大小.

解法一: (Ⅰ)當(dāng)E為PC中點(diǎn)時(shí)，．………2分

連接AC，且，由于四邊形ABCD為正方形，

∴O為AC的中點(diǎn)，又E為中點(diǎn)，

∴OE為△ACP的中位線，

∴，又，

∴………………………5分

(Ⅱ) 點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面

在正△DPC和正△BPC中，由于E為PC中點(diǎn)，

∴PC⊥DE，PC⊥BE ，又，

∴，PE即為所求，

∴點(diǎn)到平面的距離為．………………………9分

(Ⅲ)連接PO，則，

∴，又BO⊥AC，

∴

過點(diǎn)作，垂足為，連接.

由三垂線定理得.

為二面角的平面角.   ………………………12分

在中，，.

又，    故二面角的正弦值為.

故.            ……………………………………14分

解法二:

(Ⅱ)作,依題意是正方形的中心,如圖建立空間坐標(biāo)系.

則, , ，．

∴ ， ，

，

設(shè)面的法向量為

  ,   ……………… 7分

點(diǎn)到平面的距離為.  ………………9分

 (Ⅲ)設(shè)二面角的平面角為，平面的法向量為.

  設(shè)平面的法向量為, .………12分

. 

20、(北京市西城區(qū)2008年4月高三抽樣測(cè)試)如圖，在三棱錐中，，

，平面平面.    

（Ⅰ）求證：；                   

（Ⅱ）求二面角的大�。�

（Ⅲ）求異面直線和所成角的大小.

解法一：

（Ⅰ）證明：

 平面平面，平面平面，

且，         .    ………….. 2分

平面 ，  .

又

  .                         ………….. 4分

（Ⅱ）解：

作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié).

 平面平面，      ， 

根據(jù)三垂線定理得 ，

是二面角的平面角.                                     ………….. 6分

設(shè)，        .

，        ，

，                                            ………….. 8分

即二面角的大小是.                                        ………….. 9分

（Ⅲ）解：

在底面內(nèi)分別過作的平行線，交于點(diǎn)，

連結(jié).

則是異面直線和所成的角或其補(bǔ)角.  ….. 11分

，

， ，

.

易知底面為矩形，從而，

在中，，                                    ………….. 13分

  異面直線和所成角的大小為.                          ………….. 14分

解法二：

作于點(diǎn)，

 平面平面，

平面.

過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn).

如圖，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，

軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系 .    ………….. 2分

.  

.

，

.

     ………….. 4分

（Ⅰ）證明：

      . 

又

  .                                                        ………….. 7分

（Ⅱ）解：

作于點(diǎn)，連結(jié).

平面， 根據(jù)三垂線定理得 ，

是二面角的平面角.                                     ………….. 8分

在中， ，

  從而，

，                                         ………….. 10分

即二面角的大小是.                                     ………….. 11分

（Ⅲ）解：

，

，

  異面直線和所成角的大小為.

21、(北京市西城區(qū)2008年5月高三抽樣測(cè)試)如圖，在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AA₁=，AB=1，E是DD₁的中點(diǎn)。

     （Ⅰ）求直線B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小；

     （Ⅱ）求證：B₁D⊥AE；

     （Ⅲ）求二面角C―AE―D的大小。

22、(北京市宣武區(qū)2008年高三綜合練習(xí)一)如圖，三棱錐P-ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，

AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD平面PAB

(1)求證：AB平面PCB；

(2)求異面直線AP與BC所成角的大��；

(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。

解法一：（1） PC平面ABC，AB平面ABC，

PCAB，

CD平面PAB，AB平面PAB，

CD AB。又，

AB 平面PCB

（2）過點(diǎn)A作AF//BC，且AF=BC，連結(jié)PF、FC，

則為異面直線PA與BC所成的角。

由（1）可得AB BC，CF AF，

有三垂線定理，得PF AF，則AF=CF=，

PF=。

在Rt中，，

異面直線PA與BC所成的角為 ………………………………………… 8分

（3）取AP的中點(diǎn)E，連結(jié)CE、DE

PC=AC=2，CEPA，CE=

CD平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得DEPA，

為二面角C-PA-B的平面角

由（1）AB 平面PCB ，又AB=BC，可得BC=

在Rt中，PB=，CD=

在Rt中，

二面角C-PA-B大小的余弦值為 ……………………………………..13分

解法二：（1）同解法一 ………………………………………………………4分

（2）由（1）AB 平面PCB  ，PC=AC=2，

又AB=BC， 可求得BC=

以B為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，，0），B（0，0，0）， C（，0，0）

P（，0，2）

=（，-，2），=（，0，0）

則=+0+0=2

異面直線AP與BC所成的角為………………………………………………8分

（3）設(shè)平面PAB的法向量為m=（x，y，z）

=（0，-，0），=（，-，0）

則，即，得m=（，0，-1）

設(shè)平面PAC的法向量為n=（x，y，z）

=（0，0，-2），=（，-，0），則，即

得n=（1，1，0）

Cos<m,n>=

二面角C-PA-B大小的余弦值為

23、(北京市宣武區(qū)2008年高三綜合練習(xí)二)如圖所示，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是，D是AC的中點(diǎn)。

(1)求證：平面；

(2)求二面角的大��；

(3)求直線與平面所成的角的正弦值。

解法一：（1）設(shè)與相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為中點(diǎn)，

D為AC中點(diǎn)，PD//。

又PD平面D，//平面D   ……………………………………… 4分

（2）正三棱住，

 底面ABC。

又BDAC

BD

就是二面角的平面角。

=，AD=AC=1

tan =

=, 即二面角的大小是 ………………………………… 8分

（3）由（2）作AM，M為垂足。

BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC

BD平面，

AM平面，

BDAM

BD = D

AM平面，連接MP，則就是直線與平面D所成的角。

=，AD=1，在RtD中，=，

，。

直線與平面D所成的角的正弦值為

解法二：

（1）同解法一

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）

=（-1，，-），=（-1，0，-）

設(shè)平面的法向量為n=（x，y，z）

則n

n

則有，得n=（，0，1）

由題意，知=（0，0，）是平面ABD的一個(gè)法向量。

設(shè)n與所成角為，

則，

二面角的大小是………………………………… 8分

（3）由已知，得=（-1，，），n=（，0，1）

則

直線與平面D所成的角的正弦值為

24、(四川省成都市高2008屆畢業(yè)班摸底測(cè)試)如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=，D、E分別為BB₁、AC的中點(diǎn)。

   （Ⅰ）求二面角A₁―AD―C₁的大��；

   （Ⅱ）若，求證：BE//平面AC₁D。

（Ⅰ）以BA所在的直線為x軸、BC所在直線為y軸、BB₁所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系�！�

    則A（1，0，0），A₁（1，0，3），C₁（0，1，3），

    D（0，0，2）

    ∴ ……2分

    設(shè)平面AC₁D的法向量為n=（x，y，z），則由

    ∴平面AC₁D的法向量為n=（2，－1，1）  …………2分

又平面A₁AD的法向量為m=（0，1，0）   …………1分

∵，

又由圖形可知，所求二面角為銳角  

∴二面角A₁―AD―C₁的大小為arccos.   …………2分

（Ⅱ）作EF//CC₁交AC₁于點(diǎn)F，連結(jié)DF。

∵

又EF//BD， ∴四邊形EFDB為平行四邊形，∴DF//BE。

而DF平面AC₁D，BE平面AC₁D，

∴BE//平面AC₁D。   …………5分）

[注：也可證]

25、(東北區(qū)三省四市2008年第一次聯(lián)合考試)如圖，三棱錐P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一點(diǎn)，

且CD⊥平面PAB。

（1）求證：AB⊥平面PCB

（2）求二面角C－PA－B的大小。

解（1）

（2）解法一：

取AP的中點(diǎn)E，連續(xù)CE、DE

（2）解法二：

26、(東北三校2008年高三第一次聯(lián)考)如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4，D為CC₁中點(diǎn)．

   （Ⅰ）求證：；

   （Ⅱ）求二面角的大�。�

解法一：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO．

為正三角形，．……３分

    連結(jié)，在正方形中，分別為 

的中點(diǎn)，

由正方形性質(zhì)知，

．………５分

又在正方形中，，

平面．……６分

（Ⅱ）設(shè)AB₁與A₁B交于點(diǎn)，在平面₁BD中，

作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得．

為二面角的平面角．………９分

在中，由等面積法可求得，………１０分

又，．

所以二面角的大小為．……１２分

解法二：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則

……3分

 ，．

平面．………６分

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．．

令得為平面的一個(gè)法向量．……９分

由（Ⅰ）為平面的法向量．……１０分

．所以二面角的大小為．

27、(東北師大附中高2008屆第四次摸底考試)如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在棱上移動(dòng)．

   （1）求證：；

   （2）為中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面 的距離；

   （3）等于何值時(shí)，二面角的大小是．

解：（1）由于 ，，根據(jù)三垂線定理，

得．                                               (4分)

　（2）設(shè)到平面的距離為．

在中，，，，　　

而，，得．    (8分)

�。�3）過作于，連接，則．

為二面角的平面角．設(shè)則

在中，，得．

由于,  即，    解得．

　 因此，當(dāng)時(shí)，二面角的大小為．

28、(本小題滿分12分) 如圖，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)，AA₁=AB=1.
（I）求證：A₁C//平面AB₁D；
（II）求二面角B―AB₁―D的大小；
（III）求點(diǎn)C到平面AB₁D的距離.
【解】解法一（I）證明：

連接A₁B，設(shè)A₁B∩AB₁ = E，連接DE.

∵ABC―A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁ = AB，

∴四邊形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中點(diǎn)，

又D是BC的中點(diǎn)，

∴DE∥A₁C. ………………………… 3分

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D. ……………………4分

（II）解：在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點(diǎn)F，在面A₁ABB₁內(nèi)作FG⊥AB₁于點(diǎn)G，連接DG.

∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A₁ABB₁，

∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，  ∵FG⊥AB₁， ∴DG⊥AB₁

∴∠FGD是二面角B―AB₁―D的平面角 …………………………6分

設(shè)A₁A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB₁―D的大小為 …………………………8分

   （III）解：∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B₁BCC₁，又AD平面AB₁D，∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D.

在平面B₁BCC₁內(nèi)作CH⊥B₁D交B₁D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

則CH的長(zhǎng)度就是點(diǎn)C到平面AB₁D的距離. ……………………………10分

由△CDH∽△B₁DB，得