2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)

專題五  立體幾何

 

1.       如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，  （I）求證：AC⊥BC1；  （II）求證：AC 1//平面CDB1；

解析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.

答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC，∴ AC⊥BC1；

（II）設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，∵ D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)，

∴ DE//AC1，∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴ AC1//平面CDB1；

解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C兩兩垂直，如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA、CB、C1C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）

（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴AC⊥BC1.

（2）設(shè)CB1與C1B的交戰(zhàn)為E，則E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.

點(diǎn)評(píng)：2．平行問題的轉(zhuǎn)化：

轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化

面面平行線面平行線線平行；

主要依據(jù)是有關(guān)的定義及判定定理和性質(zhì)定理．?

2.       如圖所示，四棱錐P―ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)。

(1)求證：BM∥平面PAD；

(2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使MN平面PBD；

(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。

解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，

二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.

答案：（1）是的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)，則

，又

四邊形為平行四邊形

∥，

∥     （4分）

 （2）以為原點(diǎn)，以、、 所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，

在平面內(nèi)設(shè)，，，  由        

由        

是的中點(diǎn)，此時(shí)           （8分）

 （3）設(shè)直線與平面所成的角為

，，設(shè)為

   

故直線與平面所成角的正弦為                （12分）

解法二：

 （1）是的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)，則

，又

四邊形為平行四邊形

∥，

∥     （4分）

 （2）由（1）知為平行四邊形

，又

    同理，

    為矩形    ∥，，又

        

    作故

交于，在矩形內(nèi)，，

，    為的中點(diǎn)

當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，                  （8分）

 （3）由（2）知為點(diǎn)到平面的距離，為直線與平面所成的角，設(shè)為，

直線與平面所成的角的正弦值為    

點(diǎn)評(píng)：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點(diǎn)作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來

3.       如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點(diǎn).

(Ⅰ)求與底面所成角的大小；

(Ⅱ)求證：平面；

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

解析：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法  求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，比較好的方法是向量法 

答案：(I)取DC的中點(diǎn)O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．

又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．

連結(jié)OA，則OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA與底面所成角．

∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=．

∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°．               ……6分

(II)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．

建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則, ．

由M為PB中點(diǎn)，∴．

∴．

∴，

．

∴PA⊥DM，PA⊥DC．   ∴PA⊥平面DMC．                              ……4分

(III)．令平面BMC的法向量，

則，從而x+z=0；  ……①,  ，從而． ……②

由①、②，取x=−1，則．   ∴可取．

由(II)知平面CDM的法向量可取，

∴． ∴所求二面角的余弦值為－．  ……6分

法二：（Ⅰ）方法同上                              

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，則，又，則，即，

又在中，中位線，，則，則四邊形為，所以，在中，，則，故而，

則

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，則為二面角的平面角，在中，易得，，

故，所求二面角的余弦值為

 

 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強(qiáng)   用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法.

4.       如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。

文本框:    （1）求BD和面BEF所成的角的余弦；

   （2）線段EF上是否存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由。

        
   
        
    
    
        
    
        1,3,5
        答案：（1）因?yàn)锳C、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，
        則B（2，0，0），D（0，0，2），
        E（1，1，2），F(xiàn)（2，2，0），
        則
        文本框:  設(shè)平面BEF的法向量
        ，則可取，
        ∴向量所成角的余弦為
        。
        即BD和面BEF所成的角的余弦。
           （2）假設(shè)線段EF上存在點(diǎn)P使過P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直，不妨設(shè)EP與PF的比值為m，則P點(diǎn)坐標(biāo)為
        則向量，向量
        所以。
         點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計(jì)算，本題采用探索式、開放式設(shè)問方式，對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解題提出了較高要求。
        5.      
已知正方形  、分別是、的中點(diǎn),將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為  
        (I) 證明平面;
        (II)若為正三角形,試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值  
        分析:充分發(fā)揮空間想像能力，重點(diǎn)抓住不變的位置和數(shù)量關(guān)系，借助模型圖形得出結(jié)論，并給出證明.
        解: (I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點(diǎn),
        EB//FD,且EB=FD,
        四邊形EBFD為平行四邊形  
        BF//ED.
        ,平面  
        (II)如右圖,點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過點(diǎn)A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GD  
        ACD為正三角形,AC=AD.
        CG=GD.
        G在CD的垂直平分線上, 點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,
        過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角  即.
        設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF,在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形, .
         在RtADE中, .
        ,    
        點(diǎn)評(píng)：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中，一般來說，位于同一平面內(nèi)的幾何元素相對(duì)位置和數(shù)量關(guān)系不變：位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的元素，位置和數(shù)量關(guān)系要發(fā)生變化，翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。關(guān)鍵要抓不變的量.
        6.      
設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面積為1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.
        文本框:  分析：關(guān)鍵是找出球心所在的三角形，求出內(nèi)切圓半徑.
        解：
∵AB⊥AD，AB⊥MA，
        ∴AB⊥平面MAD，
        由此，面MAD⊥面AC.
        記E是AD的中點(diǎn)，從而ME⊥AD.
        ∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.
        設(shè)球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.
        不妨設(shè)O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的內(nèi)心.
        設(shè)球O的半徑為r，則r＝
        設(shè)AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.
        ∴ME＝.MF＝,
        r＝≤＝-1。
        當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝時(shí)，等號(hào)成立.
        ∴當(dāng)AD＝ME＝時(shí)，滿足條件的球最大半徑為-1.
        點(diǎn)評(píng)：涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時(shí)一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長間的關(guān)系；多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系。
         
         
        
				
	
        
		
        


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