2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)

專(zhuān)題七  應(yīng)用性問(wèn)題

 

1.       近年來(lái)，太陽(yáng)能技術(shù)運(yùn)用的步伐日益加快．2002年全球太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量達(dá)到670兆瓦，年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為34%．以后四年中，年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率逐年遞增2%（如，2003年的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為36%）．

   （1）求2006年全球太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量（結(jié)果精確到0.1兆瓦）；

   （2）目前太陽(yáng)電池產(chǎn)業(yè)存在的主要問(wèn)題是市場(chǎng)安裝量遠(yuǎn)小于生產(chǎn)量，2006年的實(shí)際安裝量為1420兆瓦．假設(shè)以后若干年內(nèi)太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率保持在42%，到2010年，要使年安裝量與年生產(chǎn)量基本持平（即年安裝量不少于年生產(chǎn)量的95%），這四年中太陽(yáng)電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率至少應(yīng)達(dá)到多少（結(jié)果精確到0.1%）？

 

分析：本題命題意圖是考查函數(shù)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力。

解析（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量的增長(zhǎng)率依次為 ，，，．則2006年全球太陽(yáng)電池的年生產(chǎn)量為    (兆瓦)．      

   （2）設(shè)太陽(yáng)電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率為，則．解得．因此，這四年中太陽(yáng)電池的年安裝量的平均增長(zhǎng)率至少應(yīng)達(dá)到．

  點(diǎn)評(píng)：審清題意，理順題目中各種量的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵。

2.       某分公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元（）時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為萬(wàn)件．（Ⅰ）求該分公司一年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，該分公司一年的利潤(rùn)最大，并求出的最大值．

分析：本題命題意圖是考查函數(shù)的解析式的求法、利用導(dǎo)數(shù)求最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

解析：（Ⅰ）分公司一年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為：   ．

（Ⅱ），令得或（不合題意，舍去）．

，．  在兩側(cè)的值由正變負(fù)．

所以（1）當(dāng)即時(shí)，

．

（2）當(dāng)即時(shí)，

，

所以

答：若，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值（萬(wàn)元）；若，則當(dāng)每件售價(jià)為元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值（萬(wàn)元）．

點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)極值、最值的方法是解決此題的關(guān)鍵。

3.       （07安徽文理）某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d>0），因此，歷年所交納的儲(chǔ)務(wù)金數(shù)目a1，a2，…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利.這就是說(shuō)，如果固定年利率為r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?i>a1（1＋r）a－1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?i>a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額.

（Ⅰ）寫(xiě)出Tn與Tn－1（n≥2）的遞推關(guān)系式；

（Ⅱ）求證：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一個(gè)等比數(shù)列，｛Bn｝是一個(gè)等差數(shù)列.

分析：本小題命題意圖主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法，考查學(xué)生的閱讀資料、提取信息、建立數(shù)學(xué)模型的能力，考查應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

解析：（1）我們有（）

（2），對(duì)反復(fù)使用上述關(guān)系式，得：

 

。①

在①式兩邊同乘以，得：

②

由②－①，得

，即  。

如果記，，則，其中是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列。

    點(diǎn)評(píng)：掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、以及求和方法是解決此題的關(guān)鍵。

4.        如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A1處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B1處，此時(shí)兩船相距10海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？（07山東理）

分析：本題命題意圖是通過(guò)實(shí)際問(wèn)題考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的能力以及分析解決問(wèn)題的能力。

解析：如圖，連結(jié)，，， 是等邊三角形，，在中，由余弦定理得

，

，因此乙船的速度的大小為

答：乙船每小時(shí)航行海里.

點(diǎn)評(píng)：連接，構(gòu)造兩個(gè)可解的三角形與是處理此題的關(guān)鍵，此外，還可連接來(lái)解。

5.      某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過(guò)第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí).對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品.

   （Ⅰ）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)

         果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)

         出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙；

   （Ⅱ）已知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示，用ξ、

         η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤(rùn)，在

        （I）的條件下，求ξ、η的分布列及

Eξ、Eη；

   （Ⅲ）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額

         如表三所示.該工廠有工人40名，可用資.

<fieldset id="moam2"><tr id="moam2"></tr></fieldset>

  • 項(xiàng)目

     

    產(chǎn)品

    工人（名）

    資金（萬(wàn)元）

    甲

    8

    8

    乙

    2

    10

     

    <center id="moam2"><tbody id="moam2"></tbody></center>
    
 
    
  
  
    • 
   
      
    
    
      
    
      用
      量
              
值時(shí)，最大？最大值是多少？
              （解答時(shí)須給出圖示）
       
       
      分析：本小題主要考查相互獨(dú)立事件的概率、隨機(jī)變量的分布列及期望、線性規(guī)劃模型的建立與求解等基礎(chǔ)知識(shí)，考查通過(guò)建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型以解決實(shí)際問(wèn)題的能力
      解析（Ⅰ）解：
      （Ⅱ）解：隨機(jī)變量、的分別列是
      


      
 
      
  
 
      
 
      
  
  
 
      

      

 
       
       
       
       
      （Ⅲ）解：由題設(shè)知目標(biāo)函數(shù)為

      作出可行域（如圖），作直線 
      將l向右上方平移至l1位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上
      的點(diǎn)M點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)             
取最大值. 解方程組   
          得即時(shí)，z取最大值，z的最大值為25.2 .
      點(diǎn)評(píng)：
      6.       某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為
      1
      2
      3
      4
      5
      0.4
      0.2
      0.2
      0.1
      0.1
      商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元，表示經(jīng)銷(xiāo)一件該商品的利潤(rùn)。
      （Ⅰ）求事件A：“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率；
      （Ⅱ）求的分布列及期望。www.xkb123.com
      分析：本題命題意圖是主要考察對(duì)立事件的概率以及分布列及期望的知識(shí)，考查學(xué)生的閱讀理解能力及分析解決問(wèn)題能力。
      解析：（Ⅰ）由表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”，
      ．
      （Ⅱ）的可能取值為元，元，元．，
      ，
      ．
      的分布列為
      （元）．
      點(diǎn)評(píng)：掌握對(duì)立事件的概率和為1，學(xué)會(huì)用間接法求解概率問(wèn)題。
      7.      
某人在一山坡P處觀看對(duì)面山項(xiàng)上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l且點(diǎn)P在直線l上，與水平地面的夾角為 , 試問(wèn)此人距水平地面多高時(shí)，觀看塔的視角∠BPC最大（不計(jì)此人的身高）
      解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（200，0），B（0，220），C（0，300），
            直線l的方程為即     
  設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），      則    由經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式

         由直線PC到直線PB的角的公式得，
      要使tanBPC達(dá)到最大，只須達(dá)到最小，由均值不等式
      當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取得等號(hào)，故當(dāng)x=320時(shí)tanBPC最大，這時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y為 
      由此實(shí)際問(wèn)題知，所以tanBPC最大時(shí)，∠BPC最大，故當(dāng)此人距水平地面60米高時(shí)，觀看鐵塔的視角∠BPC最大.
      8.       如圖，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線軸所圍成的三角形面積為，求（1）切線的方程；2）求證
      （1）解： ，
      切線的斜率為
      故切線的方程為，即
      （2）證明：令，又令，
      從而
      的最大值為，即
      點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，并結(jié)合函數(shù)圖象，可快速獲解，也充分體現(xiàn)了求導(dǎo)法
      在證明不等式中的優(yōu)越性。
      9.      
對(duì)于定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)和，如果對(duì)任意的，均有不等式成立，則稱函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱“不友好”的.現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)間.
      （1）若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；
      （2）討論函數(shù)與在區(qū)間上是否“友好”.
      答案：（1）函數(shù)與在區(qū)間上有意義，
      必須滿足                               

      （2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與在區(qū)間上是“友好”的，
      則   
      即                      （*）
      因?yàn)?sub>，而在的右側(cè)，
      所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，從而
                                  
      于是不等式（*）成立的充要條件是
      因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在區(qū)間上是“友好”的；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在區(qū)間上是不“友好”的.
       
      w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

       
       
      
				
	
      
		
      


      同步練習(xí)冊(cè)答案
      


      


      






















	
      



      
	







    • <bdo id="moam2"></bdo>
    •