個(gè)

 = A (A+1) ，   得證

(2)

 點(diǎn)評(píng)：本題難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng)，再將這個(gè)通項(xiàng)“分成” 兩個(gè)相鄰正數(shù)的積，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。

4.       已知數(shù)列滿足，．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：對任意的，．

分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。

解：（Ⅰ），，

又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．

 ，　即.　　　　　　　　 　　

（Ⅱ）．

．     

（Ⅲ），

．                     

當(dāng)時(shí)，則

．

，   對任意的，．        

 點(diǎn)評(píng)：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項(xiàng)，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，這將到下一考點(diǎn)要重點(diǎn)講到。

考點(diǎn)三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系

5.       已知為銳角，且，

函數(shù)，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng).

    ⑴ 求函數(shù)的表達(dá)式；

    ⑵ 求證：；

⑶ 求證：

分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。

解：⑴    又∵為銳角

            ∴    ∴        

       ⑵       ∵     ∴都大于0

            ∴      ∴       

       ⑶   

∴            

            ∴

∵,  ,  又∵

            ∴            ∴

            ∴

點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。

6.       已知數(shù)列滿足

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；

（Ⅲ）證明：

分析：本例（1）通過把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問關(guān)鍵在如何放縮。

解：（1），

故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。

，

（2），

①

②

②―①得，即③

④

④―③得，即

所以數(shù)列是等差數(shù)列

（3）

設(shè)，則

 點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。

7.       已知函數(shù),數(shù)列滿足,

; 數(shù)列滿足, .求證:

（Ⅰ）

（Ⅱ）

    （Ⅲ）若則當(dāng)n≥2時(shí),.

分析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進(jìn)行放縮。

解：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.

    （1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;

    （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時(shí),

    因?yàn)?<x<1時(shí),,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).

    又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即0<.

    故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.

    又由, 得,從而.

    綜上可知

    (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0<x<1,

    由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).

    又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.

因?yàn)?sub>,所以,即>0,從而

(Ⅲ) 因?yàn)?,所以, ,

    所以   ――――① ,

    由(Ⅱ)知:,  所以= ,

    因?yàn)?sub>, n≥2,

所以 <<=――――② .

由①② 兩式可知: .

 點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意。

考點(diǎn)四：數(shù)列與函數(shù)、向量等的聯(lián)系

8.       已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足=l，．

   (1)寫出、的值;

 (2)試比較與的大小，并說明理由；

(3)設(shè)數(shù)列滿足=－，記S_n=．證明：當(dāng)n≥2時(shí),S_n＜(2ⁿ－1)．

分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。

解：(1)，因?yàn)?sub>所以

（2）因?yàn)?sub>所以

,

因?yàn)?sub>所以與同號(hào)，

因?yàn)?sub>，…，即

（3）當(dāng)時(shí)，

，

所以，

所以

 點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。

9.       在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中

    ，滿足向量與向量共線，且點(diǎn)（B，n）在方向向量為（1，6）的

線上

   （1）試用a與n表示；

   （2）若a₆與a₇兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是a_n的最小值，試求a的取值范圍。

分析：第（1）問實(shí)際上是求數(shù)列的通項(xiàng)；第（2）問利用二次函數(shù)中求最小值的方式來解決。

解：（1）

又∵{B_n}在方向向量為（1，6）的直線上，

（2）∵二次函數(shù)是開口向上，對稱軸為的拋物線

又因?yàn)樵赼₆與a₇兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列{a_n}的最小項(xiàng)，

∴對稱軸

 點(diǎn)評(píng)：本題是向量、二次函數(shù)、不等式知識(shí)和交匯題，要解決好這類題是要有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的。