2009年甘肅省第一次高三診斷考試數(shù)學(xué)試卷2009.3

 

考生注意：

本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共150分．考試時間120分鐘．

題 號

一

二

三

總 分

17

18

19

20

21

22

得 分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

文本框: 球的表面積公式 S=4pR2 其中R表示球的半徑． 球的體積公式 V= pR3， 其中R表示球的半徑． 參考公式：

       如果事件A、B互斥，那么

P(A+B)=P(A)+P(B)

       如果事件A、B相互獨立，那么

P(A?B)=P(A)?P(B)

       如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么

n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率

第Ⅰ卷 (選擇題，共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的序號填入題后的括號內(nèi).

1．已知全集為U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,2,5}，集合B={1,3,4}，則(∁UA)∩B=         (    )

A．{1}　　　　　B．{2,5}　　　　　　C．{3,4}　　　　　D．{1,2,3,4,5}

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2．(理)復(fù)數(shù)的虛部是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(    )

A．1             　　B．－i           　　　　C．i              　　　　　D．－1

(文)有A、B、C三種零件，分別為a個、300個、200個，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個容量為45的樣本，C種零件被抽取10個，則此三種零件的總數(shù)是                　　　 (    )

       A．900                    B．800                    C．600                   D．700

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3．將函數(shù)y=sin2x的圖象按向量a=(,1)平移后得到函數(shù)f(x)的圖象，那么　　　　(    )

       A．f ( x ) = ?cos 2x + 1                                        B．f(x)=cos2x+1

C．f ( x ) = ?cos 2x ? 1                                        D．f(x)=cos2x?1

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4．已知m，n是兩條不同直線，a，b，g是三個不同平面，下列命題中正確的是    (　　)

A．若m∥a，n∥a，則m∥n                B．若a⊥g，b⊥g，則a∥b

C．若m∥a，m∥b，則a∥b          　  D．若m⊥a，n⊥a，則m∥n

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5．已知函數(shù)y=Asin(ωx+j)(A>0，ω>0，|j|<)的圖象如圖所示，則                       (    )

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6ec8aac122bd4f6eA．y=2sin(4x+)         B．y=2sin(4x－)

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C．y=2sin(2x+)        D．y=2sin(2x－)

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6．已知雙曲線(a>0)的右焦點與拋物線y2=16x的焦點重合，則該雙曲線的離心率等于                                                                                                                    (    )

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       A．                  B．                    C．                  D．

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7．函數(shù)的y=(x≤－1)反函數(shù)是                                                                 (    )

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A．y=－(x≥0)                           B．y=(x≥0)

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C．y=－(x≥)                D．y= (x≥)

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8．（理）數(shù)列{an}中a3=2，a7=1，如果數(shù)列{}是等差數(shù)列，那么a11=           (　　)

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       A．0                    B．                   C．                  D．1

    （文）等差數(shù)列{an}中，S10=120，那么a2+a9的值是                                           (    )

       A．12                      B．16                      C．24                     D．48

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9．設(shè)a=20.1，b=ln，c=log，則a、b、c的大小關(guān)系是                                   (    )

A．a(chǎn)>b>c          B．a(chǎn)>c>b           C．b>a>c          D．b>c>a

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10．向量a，b滿足|a|=1，|a－b|=，a與b的夾角為60°，則|b|=          (    )

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A．1      　　　   B．   　　　        C．或       D．

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11．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若f(x)的最小正周期為3，且f(1)<1，

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f(2)=log(m2－m)，則m的取值范圍是                                                            (    )

A．－1<m<0                                   B．1<m<2tesoon

C．m>1或－1<m<0                D．－1<m<0或1<m<2

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12．（理）若三棱錐S―ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，則該三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離為                                (    )

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  A．                    B．1                      C．                     D．

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（文）已知側(cè)棱為的正三棱錐S－ABC內(nèi)接于球O，若球心O在正三棱錐S－ABC內(nèi)，且O到底面ABC的距離為1，則球O的體積為                                (    )

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  A．                    B．                 C．                   D．

 

 

 

 

 

第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)

試題詳情

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 把答案填在題中橫線上．

13.（理）已知函數(shù)f(x)=若f(x)在R上連續(xù)，則=___________．

（文）若向量a=(1+2l，2－3l)與b=(4，1)共線，則l=___________．

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14．設(shè)x、y滿足約束條件則z=x－y的最大值是_________．

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15．設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m、n，則直線y=x與圓(x－3)2+y2=1相交的概率是___________．

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16．已知下列命題：

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   ①函數(shù)f(x)=sinx+(xÎ(0, p))的最小值是2；

②在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰直角三角形；

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③如果正實數(shù)a，b，c滿足a+b=c，則；

④如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則f′ (x)>0是函數(shù)y=f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)的充分不必要條件.

其中正確的命題有____________________(把所有正確的序號都填上)．

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三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．(本小題滿分10分)

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已知：A、B、C是△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其對邊長，向量m=(,cosA+1)，n=(sinA,－1)，m⊥n．

(Ⅰ)求角A的值；

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(Ⅱ)若a=2，cosB=，求b的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．(本小題滿分12分)

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某射擊比賽規(guī)則是：開始時在距離目標100米處射擊，如果命中記3分，同時停止射擊；若第一次射擊未命中目標，則可以進行第二次射擊，但目標已在150米處，這時命中記2分，同時停止射擊；若第二次射擊仍未命中目標，還可以進行第三次射擊，此時目標已在200米遠處，這時命中記1分，同時停止射擊；若三次射擊都未命中目標，則記0分．已知甲射手在100米處擊中目標的概率是，他命中目標的概率與距離的平方成反比，且各次射擊是相互獨立的．

(1)求射手甲分別在150米和200米處命中目標的概率；

(2)(理科做)設(shè)x為射手甲在該射擊比賽中的得分，求Ex．

(文科做)求射手甲在該射擊比賽中能得分的概率．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．(本小題滿分12分)

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如圖，在直三棱柱A1B1C1―ABC中，AC⊥CB，D為AB中點，CB=1，AC=，A1A=．

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(Ⅰ)求證：BC1∥平面A1CD；

(Ⅱ)求二面角A―A1C―D的大�。�

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20．(本小題滿分12分)

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已知函數(shù)f(x)=，數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1= f()，nÎN*．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；

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(Ⅱ) (理科做)令bn=(n≥2)，b1=，Sn=b1+b2+???+ bn，若Sn<對一切nÎN*成立，求最小正整數(shù)m．

(文科做)令bn=(a2n-1－a2n+1)a2n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．(本小題滿分12分)

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       已知直線y=－x+1與橢圓(a>b>0)相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線l：x－2y=0上．

(Ⅰ)求此橢圓的離心率；

(Ⅱ)若橢圓的右焦點關(guān)于直線l的對稱點在圓x2+y2=4上，求此橢圓的方程．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22．(本小題滿分12分)

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(理科做)已知函數(shù) f(x)=(x≥1)．

(Ⅰ)試判斷f(x)的單調(diào)性，并說明理由；

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(Ⅱ)若f(x)≥恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

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(Ⅲ)求證：．

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(文科做)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，過曲線y=f(x)上的點P(1，f(1))的切線方程為y=3x+1．

       (Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x=－2處有極值，求f(x)的表達式；

       (Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[－2,1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2009年甘肅省第一次高三診斷考試試卷

試題詳情

第Ⅰ卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

文A

理D

A

D

C

D

A

文C

理B

A

B

D

文C

理C

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

14.(理)3  （文）    14.2         15.       16. ③④

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17．本小題滿分10分

解：(Ⅰ)∵m⊥n，

       ∴m?n=(,cosA+1)?(sinA,－1)=sinA－(cosA+1)=0，

       ∴sinA－cosA=1，………………………………………………………………2分

       ∴sin(A－)=．…………………………………………………………………3分

       ∵0<A<p，∴，∴，………………………………5分

       ∴A=．……………………………………………………………………………6分

       (Ⅱ)在△ABC中，A=，a=2，cosB=，

       ∴sinB=．……………………………………………7分

       由正弦定理知：，…………………………………………………8分

       ∴b=，∴b=．……………………………………10分

18．(本小題滿分12分)

解：（1）由甲射手命中目標的概率與距離的平方成反比，可設(shè)，

∵，∴，   ………………………………………    2分

∴，. ………………………………………………   4分

∴，.……………………………  6分

（2）（理）的所有可能取值為0，1，2，3.

, ……………………………   7分

，  …………………………………  8分

，  ……………………………………………   9分

.   ……………………………………………………………  10分

∴. …………………… 12分

（文）記“射手甲在該射擊比賽中能得分”為事件A，則

，……………………  9分

∴. ………………………… 12分

19．(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)證明：連接AC1，設(shè)AC1∩A1C=E，連接DE．………………1分

∵A1B1C1―ABC是直三棱柱，且AC=AA1=，

∴AA1C1C是正方形，E是AC1中點，

又D為AB中點，∴ED∥BC1．……………………………………3分

又EDÌ平面A1CD，BC1Ë平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD．…………………………………………………4分

(Ⅱ)解法一：設(shè)H是AC中點，F(xiàn)是EC中點，連接DH，HF，F(xiàn)D．……5分

∵D為AB中點， ∴DH∥BC，同理可證HF∥AE，又AC⊥CB，故DH⊥AC．

又側(cè)棱AA1⊥平面ABC，

∴AA1⊥DH，      ∴DH⊥平面AA1C1C．…………………7分

由(Ⅰ)得AA1C1C是正方形，則A1C⊥AE，∴A1C⊥HF．

∵HF是DF在平面AA1C1C上的射影，∴DF⊥A1C．

∴∠DFH是二面角A―A1C―D的平面角．…8分

又DH=，HF=．…10分

∴在直角三角形DFH中，tan∠DFH=．…11分

∴二面角A―A1C―D的大小為arctan．……………………12分

解法二：在直三棱柱A1B1C1―ABC中，∵AC⊥CB，∴分別以CA，CB，CC1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系C?xyz．因為BC=1，AA1=AC=，則

C(0,0,0)，A(,0,0)，B(0,1,0)，D，…………5分

設(shè)平面A1DC的法向量為n=(x,y,z)，則

       ，       …………………………6分

∵=，=(,0,)，

∴ ，則．…7分

取x=1，得平面A1DC的一個法向量為n=(1,－,－1)，…………9分

m==(0,1,0)為平面CAA1C1的一個法向量．………………………10分

cos<m?n>=．………………………………11分

由圖可知，二面角A―A1C―D的大小為arccos．………………12分

20．(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)∵an+1= f()=．…………………………3分

∴{an}是以為公差的等差數(shù)列．

又a1=1，∴an=．  ………………………………………(理)5分(文)6分

(Ⅱ) (理)當(dāng)n≥2時，，

又b1==，

∴Sn=b1+b2+???+bn=．…8分

∵Sn<，對nÎN*成立．

∵關(guān)于n遞增，且當(dāng)n®+∞時，及，

∴，m≥2009．∴最小正整數(shù)m=2009．………………………12分

（文）Tn=a2(a1－a3)+a4(a3－a5)+???+a2n(a2n-1－a2n+1)

=－(a2+a4+???+a2n) ………………………………………………8分

=．…………………………………12分

21．(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)由得(a2+b2)x2－2a2x+a2－a2b2=0，…………………2分

設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB中點為M(x0，y0)．

∴x1+x2=，x0=，y0=－x0+1=，……………………4分

∴M(，)，代入x－2y=0

得a2=2b2，∴，……………………………………………………5分

∴e=．………………………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知橢圓方程可化為， ……………………………7分

所以右焦點F2(b，0)關(guān)于直線l：x－2y=0的對稱點F2′(b，b)，……9分

將其代入x2+y2=4，得(b)2+(b)2=4，∴b2=4．…………………………10分

所以橢圓的方程為．…………………………………………12分

22．(本小題滿分12分)

解：(理)(Ⅰ) f′(x)=－，∵x≥1，∴l(xiāng)nx≥0，∴f′(x)≤0，故f(x)在[1,+∞)遞減．……4分

(Ⅱ) f(x)≥Û≥k，記g(x)=，

       則g′(x)=．…………………………5分

       再令h(x)=x－lnx，則h′(x)=1－．

       ∵x≥1，∴h′(x)≥0，∴h(x)在[1,+∞)上遞增………………………………………6分

       ∴[h(x)]min=h(1)=1>0，從而g′(x)>0，故g(x)在[1,+∞)上也單調(diào)遞增． ………7分

       ∴[g(x)]min=g(1)=2，∴k≤2．………………………………………………………8分

       (Ⅲ)證法1：用數(shù)學(xué)歸納法，略

       證法2：由(Ⅱ)知：f(x)≥恒成立，即．

       令x=n(n+1)，則，………………………………9分

∴，，，…，

，……………………………………………………10分

將以上不等式相加得：

．……………………………………12分

(文)解：(Ⅰ )由f(x)=x3+ax2+bx+c，求導(dǎo)數(shù)得f′(x)=3x2+2ax+b．…………1分

過y=f(x)上的點P(1，f(1))的切線方程為：y－f(1)=f′(1)(x－1)，

即y－(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x－1)．…………………………………………3分

而過y=f(x)上的點P(1，f(1)) 的切線方程為y=3x+1，

故即…………………………………………4分

∵f(x)在x=－2處有極值，故f′(－2)=0，∴－4a+b=－12，③……………5分

由①②③得a=2，b=－4，c=5．

∴f(x)=x3+2x2－4x+5．…………………………………………………………6分

(Ⅱ )解法一：y=f(x)在[－2,1]上單調(diào)遞增，又f′(x)=3x2+2ax+b，由①知2a+b=0．

依題意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x2－bx+b≥0．……………………8分

①當(dāng)x=≥1時，f′(x)min=f′(1)=3－b+b>0，∴b≥6；………………………9分

②當(dāng)x=≤－2時，f′(x)min=f′(－2)=12+2b+b≥0，∴bÎÆ；………………10分

③當(dāng)－2≤≤1時，f′(x)min=≥0，則0≤b≤6．………………………11分

綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是[0,+∞)．……………………………………12分

解法二：同)解法一，可得3x2-bx+b≥0．………………………………………8分

即b(x－1)≤3x2．

當(dāng)x=1時，不等式顯然成立．

當(dāng)x≠1時，x－1<0，∴b≥．……………………………………………10分

∵=3(x－1)++6≤－6+6=0，

∴b≥0．…………………………………………………………………………12分

 

 

 

數(shù)學(xué)既重基礎(chǔ)又突出考查主線

西北師大附中高級教師 李樹林

　　  試卷點評:本試卷題型配置合理，考查知識點覆蓋全面,試題嚴謹準確，無科學(xué)性知識性錯誤。思維量、計算量適中。更值得一提的是試卷平和溫馨，無偏題怪題，既重基礎(chǔ)又突出考查主線，學(xué)生倍感親切。這既對后期復(fù)習(xí)具有良好的導(dǎo)向作用，尤其是對穩(wěn)定學(xué)生情緒，鼓舞士氣發(fā)揮重要作用�？傊�，本試卷與近年高考題相比更接近。如果多出現(xiàn)一些創(chuàng)新題將更能體現(xiàn)課改精神。另外，應(yīng)加大壓軸題的分量，特別是21題分量明顯不足。

　　  復(fù)習(xí)建議:合理定位，“量身”制定復(fù)習(xí)方案。后期復(fù)習(xí)對自己恰當(dāng)定位很重要。奪三甲、進前十、奔名校、夠重點、上普本，一定要有自己的具體目標要求。你在什么層面，就要進行相對應(yīng)的復(fù)習(xí)。既敢追求又能舍棄。基礎(chǔ)未過關(guān)的，寧可再打基礎(chǔ)也要舍棄綜合性的問題，想拔高的就要對一些“尖端”問題猛攻。

　　  力所能及地做好專題復(fù)習(xí)。首先做好6個方向的專題復(fù)習(xí)：向量與三角問題專題、向量與立體幾何問題專題、概率與統(tǒng)計問題專題、函數(shù)與不等式問題專題、數(shù)列與不等式問題專題、解析幾何問題專題。建議自己進行專題組卷，比如三角題，將近年三角考題精選十余道組成試卷進行專題練習(xí)。其次做好思想方法專題復(fù)習(xí)。另外，有些典型問題也可以專題題組的方式復(fù)習(xí)。如分段函數(shù)，選擇相關(guān)題目組成專題卷，內(nèi)容包括單調(diào)性、奇偶性、值域、反函數(shù)等等，這樣做復(fù)習(xí)效果倍增。

　　  做好臨場訓(xùn)練：關(guān)注應(yīng)試技法，如客觀題用畫圖、檢驗等特殊方法，特別是選擇題要用好選擇這一“拐杖”；重視解題程序的訓(xùn)練：如用向量法解立體幾何題的步驟、用直譯法求軌跡方程的步驟、直線與圓錐曲線問題的求解步驟、解概率題的步驟、畫數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖的步驟、用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟、求線性規(guī)劃問題的步驟等等；做好答卷規(guī)范性的訓(xùn)練:特別是今年實行網(wǎng)上閱卷對答題規(guī)范性要求更高，必須及早訓(xùn)練否則一定影響考試效果。

 


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