福建省師大附中2009屆高三年級第六次月考測試數(shù)學試卷(理)2009.3

       姓名_________   班級_________  學號____　　

  一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分50分，只有一項是符合題目要求的。

1、復數(shù)的實部是（    ）

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A．                 B．                   C．3                     D．

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2．設,且，則銳角為（  ）

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    A．               B．           C．            D．

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3．棱長為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為（   ）

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   A．          B.         C.         D.

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4．在等比數(shù)列（   ）

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    A．   B．     C、           D．

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變量和的值依次是（    ）

A．2550，2500     B．2550，2550    

C．2500，2500     D．2500，2550

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6．設，，表示三條直線，，，表示三個平面，給出下列四個命題：

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    ①若⊥，⊥，則∥；      

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    ②若，是在內(nèi)的射影，⊥，則⊥；

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    ③若，∥，則∥；

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    ④若⊥，⊥，則∥. 其中真命題為（     ）  

A．①②        B．①②③        C．①②③④    D．③④

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將函數(shù)軸對稱，則n的最小正值是（     ）              

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    A．   B．     C．           D．

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8. 已知線性約束條件為：，則目標函數(shù)的最大值為    （     ）

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A.             B.  -1              C. 0              D.4

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9. 已知正整數(shù)a,b滿足4a+b=30，使得取最小值時的實數(shù)對（a,b）是

    A．（4，14）     B．（5，10）     C．（6，6）    D．（7，2）

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10. 橢圓與雙曲線有公共焦點，則橢圓的離心率是

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A.          B.         C.         D.

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，滿分20分。

11．某校舉行2008年元旦匯演，七位評委為某班的小品打出的分數(shù)(百分制)如下莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的中位數(shù)和方差分別為 __________．

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12．如圖，某空間幾何體的主視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為              .

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13．已知函數(shù) 數(shù)列滿足，且是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是           ．

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14．用紅、黃、藍三種顏色之一去涂圖中標號為

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的9個小正方形（如圖），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且“3、5、7”號數(shù)字涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有  ______     種.

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15．某同學在研究函數(shù) (R) 時，分別給出下面幾個結(jié)論：
①等式在時恒成立；        ②函數(shù) f (x) 的值域為 (－1,1)；

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③若x1≠x2，則一定有f (x1)≠f (x2)；     ④函數(shù)在上有三個零點.

其中正確結(jié)論的序號有               .(請將你認為正確的結(jié)論的序號都填上)

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三、解答題：本大題共5小題，共65分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分13分）

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設是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和．已知，且構(gòu)成等差數(shù)列．

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   （1）求數(shù)列的通項公式．

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（2）令求數(shù)列的前項和．

 

 

 

 

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17．（本小題滿分13分）

長方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱AA1的長是a，底面

ABCD的邊長AB=2a，BC=a，E為C1D1的中點。

(1)求證：DE⊥平面BCE；

(2)求二面角E-BD-C的正切值。

 

 

 

 

 

 

 

 

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18.（本小題滿分13分）

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已知△ABC中，

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（1）若，求△ABC是直角三角形的概率；

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（2）若，求△ABC中B是鈍角的概率.                                  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19. （本小題滿分13分）

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在直角坐標系中，點P到兩點的距離之和等于4，設點P的軌跡為C．

(1)寫出C的方程；

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(2)設直線與C交于A，B兩點．k為何值時？此時的值是多少？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20.（本小題滿分13分）

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已知二次函數(shù).

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   （1）若，試判斷函數(shù)零點個數(shù)；

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   （2）是否存在，使同時滿足以下條件

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①對任意，且；

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②對任意,都有。

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若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

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   （3）若對任意且，試證明存在，使成立。

 

 

 

 

 

 

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21.選考題：請考生在第（1）、（2）、（3）題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。本題滿分14分.

（1）.  選修4－4：坐標系與參數(shù)方程（本小題7分）

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設方程，（θ為參數(shù)）.表示的曲線為C，

(1)求曲線C上的動點到原點O的距離的最小值；

(2)點P為曲線C上的動點，當|OP|最小時(O為坐標原點)，寫出OP的參數(shù)方程并用直線參數(shù)方程求出點P的坐標。

 

 

 

 

（2）．選修4―2　矩陣與變換（本小題7分）

二階矩陣M對應的變換將點(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(－1，－1)與(0，－2)．

（1）求矩陣M；

（2）設直線l在變換M作用下得到了直線m：x－y＝4，求l的方程．

 

 

 

 

 

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（3）（不等式證明選講）若，證明   。

 

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一、選擇題

1．B    2．C    3．C    4．C    5．B    6．A

7．A    8．D    9．B    10.D   

二、填空題

11．86；1.6；12.1/6   13.（ 4，8）   14.108   15.(1),（2）,(3)

三、解答題

16．解：（1）由已知得 解得．設數(shù)列的公比為，

由，可得．又，可知，

即，

解得． 由題意得．  ．

故數(shù)列的通項為．……………………………6分

   （2）由于   由（1）得 

   

=  ……………..13分

17．(1)∵=a， AB=2a，BC=a，

E為的中點。

∴，

DE⊥CE……（2分）

又∵∴DE⊥EB  ，而                      

∴DE⊥平面BCE…（6分）

(2) 取DC的中點F，則EF⊥平面BCD,作FH⊥BD于H，連EH，則∠EHF就是二面角E-BD-C的一個平面角。……………………（8分）

由題意得  EF=a，在Rt△ 中，…………（10分）

∴∠EHF＝.……………………………………………（13分）

18．解：由已知，得，

（1）若，。若A是直角，則k=-2；若B是直角，則

k（2-k）+3=0, k=-1,k=3;若C是直角，則2（2-k）+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率為

（2）若，且k≠.區(qū)間長度L=6.若B是鈍角，則-k(2-k)-3<0, -1<k<3,L′=4. △ABC中B是鈍角的概率

k（2-k）+3=0, k=-1,k=3;若C是直角，則2（2-k）+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率為.

求△ABC是直角三角形的概率.

19．解：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，

長半軸為2的橢圓．它的短半軸，

故曲線C的方程為．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）設，其坐標滿足

消去y并整理得，

故．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

，即．而，

于是．

所以時，，故．???????????????????????????????????????????????????????? 8分

當時，，．

，

而，

所以．   13分

20．解：（1） 

當時，

函數(shù)有一個零點；當時，，函數(shù)有兩個零點。…….3分

   （2）假設存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，∴即  

由②知對,都有

令得又因為恒成立， 

，即，即

由得，

當時，，其頂點為（－1，0）滿足條件①，又對,都有，滿足條件②。

∴存在，使同時滿足條件①、②。…..8分

   （3）令，則

，

在內(nèi)必有一個實根。即，使成立。….13分

21．（1）1;    (2)

 

（2）（1）設M=，則有=，=，

所以且   解得，所以M=．…………………………5分

（2）任取直線l上一點P(x，y)經(jīng)矩陣M變換后為點P’(x’，y’)．

因為，所以又m：，

所以直線l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．………………………………7分

．

不等式證明選講）若，證明 。

柯西不等式一步可得

 

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