講講菱形的判定

    菱形,是四邊相等的四邊形,這是菱形的定義,要判斷一個四邊形是不是菱形,除用定義判斷,還可用其它等價條件。

    1. 證明四邊形的四條邊相等

    例1  已知:如圖1,C是線段BD上一點,都是等邊三角形,R、F、G、H分別是四邊形ABDE各邊的中點。求證:四邊形RFGH是菱形。

    證明:連結(jié)AD、BE

    因為都是等邊三角形

    所以

   

   

    故四邊形RFGH是菱形

    2. 鄰邊相等的平行四邊形一定是菱形

    例2  已知:如圖2,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,M、N分別是AD、BC的中點,E、F分別是BM、CM的中點。求證:四邊形MENF是菱形。

    證明:因為E是BM的中點,N是BC的中點,F(xiàn)是CM的中點

   

   

   

    3. 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

    例3  已知:如圖3,梯形ABCD中,AD//BC,對角線,M、N為底邊BC的三等分點,且BC=3AD,AM與BD交于點G,AC與DN交于點H。求證:四邊形AGHD是菱形。

    證明:因為BC=3AD

    M、N是BC的三等分點

   

    又1=2

   

    所以四邊形AGHD是平行四邊形

    又,所以四邊形AGHD是菱形。

    4. 對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

    例4  已知:如圖4,中,BAC的平分線交BC于點D,E是AB上一點,且AE=AC,EF//BC交AD于點F。

    求證:四邊形CDEF是菱形。

    證明:連結(jié)CE交AD于點O

    因為AC=AE

    所以為等腰三角形

    因為AO平分CAE

    所以,且OC=OE

    因為EF//CD,

    所以1=2

   

    所以O(shè)F=OD

    于是CE垂直平分DF

    所以四邊形CDEF是菱形

    總結(jié)以上,得到下表

    練習(xí):

  1. 求證:順次連結(jié)等腰梯形各邊中點所構(gòu)成的四邊形是菱形。

  2. 求證:順次連結(jié)等腰梯形上、下底的中點和兩對角線的中點所構(gòu)成的四邊形是菱形。

  3. 求證:順次連結(jié)矩形四邊中點所構(gòu)成的四邊形是菱形。

  4. 求證:過矩形各頂點平行于對角線的垂線圍成的四邊形是菱形。

  5. 在平行四邊形ABCD中,,M、N分別是AD、BC的中點。求證四邊形ANCM是菱形。

  6. 已知:中,AB=AC,D是BC的中點,DE//AC,DF//AB,DE、DF分別交AB、AC于點E、F,求證:四邊形AEDF是菱形。

 

 

 

 

 


同步練習(xí)冊答案