根的定義用處大
許國泰
大家知道,
如果是方程的兩個(gè)根,則有
反之,若,則是方程
例1 已知,則一元二次方程一定有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=___________。
分析 當(dāng)時(shí),有。根據(jù)方程根的定義,一元二次方程一定有一個(gè)實(shí)數(shù)根。
例2 不解方程,求作一個(gè)一元二次方程,使它的兩根分別是方程的兩根的5倍。
分析 通常情況下,本題可利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來解。如果利用根的定義來解也比較簡單。
解 設(shè)a是方程的一個(gè)根,y表示所求方程的一個(gè)根,則
根據(jù)方程的根的定義,有
即
故所求方程為
例3 已知方程有一個(gè)根是方程的某個(gè)根的2倍,求m的值。
分析 每個(gè)方程最多有兩個(gè)根,若由“方程(1)的一個(gè)根是方程(2)的某個(gè)根的2倍”及求根公式寫出它們的根,則可組合出4個(gè)關(guān)于m的無理方程,要求m的值顯然很繁。利用方程根的定義來解,可以輕松求出m的值。
解 設(shè)與分別是方程的根。
由根的定義,得
例4 已知是方程的兩實(shí)數(shù)根,則________。
分析 代數(shù)式不是關(guān)于的對稱多項(xiàng)式,無法將其化成關(guān)于,的代數(shù)式來解。由根的定義,知
所以
由根與系數(shù)的關(guān)系,知
所以
例5 已知一元二次方程的兩根之和為p,兩根的平方和為q,兩根的立方和為r。求ar+bq+cp的值。
分析 設(shè)的兩個(gè)根,根據(jù)方程根的定義,得
這時(shí)
所以ar+bq+cp
例6 已知的值。
分析 由
方程兩邊同時(shí)除以,得
比較可以看成是方程的根。
又
故
所以
例7 已知,其中m,n為實(shí)數(shù),則=_____
解:由
(1)當(dāng)
(2)當(dāng)
例8 設(shè)t是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根,則判別式與平方式的大小關(guān)系是___________。
解 由t是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根,得
所以
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