1．    集合的所有子集個數(shù)為_________．8

2．    已知復(fù)數(shù)，（是虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實數(shù)＝_________．

3．    直線x＋ay＋3＝0與直線ax＋4y＋6＝0平行的充要條件是_________．

a＝－2．

4．    函數(shù)的值域是_________．（0，＋∞）

5．    如圖，程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果為_________．64．

6．    橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，則________．5

7．    已知是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，

有下列四個命題：

①若，m⊥n，則；

②若，則；

③若，則；

④若，則．

其中正確的命題是（填上所有正確命題的序號）_______________．①④

8．    在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D為BC的中點，則＝_________．

9．    一顆正方體骰子，其六個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，將這顆骰子拋擲三次，觀察向上的點數(shù)，則三次點數(shù)之和等于16的概率為_________．

10．設(shè)等差數(shù)列的公差為，若的方差為1，則=_________．

11．已知函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為_________．

12．已知一個正三棱錐P－ABC的主視圖如圖所示，若AC＝BC＝，PC＝，則此正三棱錐的全面積為_________．

13．在銳角△ABC中，b＝2，B＝，，則△ABC的面積為_________．

14．已知命題：“在等差數(shù)列中，若，則為定值”為真命題，由于印刷問題，括號處的數(shù)模糊不清，可推得括號內(nèi)的數(shù)為_________．18

15．（本小題滿分14分）

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅱ）已知，且，求α的值．

15．解：（Ⅰ）＝．………… 4分

由，得．

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 ．………… 7分

（Ⅱ）由，得．

∴．            ………………………………………… 10分

∴，或，

即或． 

∵，∴．     …………………………………………… 14分

16．（本小題滿分14分）

已知數(shù)列的前n項和為，且．

（Ⅰ）求數(shù)列通項公式；

（Ⅱ）若，，求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項和．

16．解：（Ⅰ）n≥2時，．     ………………… 4分

n＝1時，，適合上式，

∴．               ………………… 5分

（Ⅱ），．          ………………… 8分

即．

∴數(shù)列是首項為4、公比為2的等比數(shù)列．   ………………… 10分

，∴．……………… 12分

T_n＝＝．            ………………… 14分

17．（本小題滿分15分）

在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積V；

（Ⅱ）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求證CE∥平面PAB．

17．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴S_ABCD＝

．……………… 3分

則V＝．     ……………… 5分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F(xiàn)為PC的中點，

∴AF⊥PC．            ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E為PD中點，F(xiàn)為PC中點，

∴EF∥CD．則EF⊥PC．       ……… 9分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分

（Ⅲ）證法一：

取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA．

∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．   ……… 12分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵M(jìn)C 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB．  ……… 14分

∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，

∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

證法二：

延長DC、AB，設(shè)它們交于點N，連PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，

∴C為ND的中點．         ……12分

∵E為PD中點，∴EC∥PN．……14分

∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，

∴EC∥平面PAB．   ……… 15分

18．（本小題滿分15分）

經(jīng)市場調(diào)查，某超市的一種小商品在過去的近20天內(nèi)的銷售量（件）與價格（元）均為時間t（天）的函數(shù)，且銷售量近似滿足g(t)＝80－2t（件），價格近似滿足（元）．

（Ⅰ）試寫出該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函數(shù)表達(dá)式；

（Ⅱ）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．

18．解：（Ⅰ） …… 4分

＝                        …………………… 8分

（Ⅱ）當(dāng)0≤t＜10時，y的取值范圍是[1200，1225]，

在t＝5時，y取得最大值為1225；               …………………… 11分

當(dāng)10≤t≤20時，y的取值范圍是[600，1200]，

在t＝20時，y取得最小值為600．               …………………… 14分

（答）總之，第5天，日銷售額y取得最大為1225元；

第20天，日銷售額y取得最小為600元．         …………………… 15分

19．（本小題滿分16分）

已知點P（4，4），圓C：與橢圓E：有一個公共點A（3，1），F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線PF₁與圓C相切．

（Ⅰ）求m的值與橢圓E的方程；

       （Ⅱ）設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．

19．解：（Ⅰ）點A代入圓C方程，

       得．

∵m＜3，∴m＝1． …… 2分

圓C：．

設(shè)直線PF₁的斜率為k，

則PF₁：，

即．

∵直線PF₁與圓C相切，

∴．

解得．   …………………… 4分

當(dāng)k＝時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去．

當(dāng)k＝時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標(biāo)為－4，

∴c＝4．F₁（－4，0），F(xiàn)₂（4，0）．            …………………… 6分

2a＝AF₁＋AF₂＝，，a²＝18，b²＝2．

橢圓E的方程為：．                …………………… 8分2

（Ⅱ），設(shè)Q（x，y），，

．           …………………… 10分

∵，即，

而，∴－18≤6xy≤18．     …………………… 12分

則的取值范圍是[0，36]． ……… 14分

的取值范圍是[－6，6]．

∴的取值范圍是[－12，0]．   …………………… 16分

20．（本小題滿分16分）

已知函數(shù)圖象上一點P（2，f(2)）處的切線方程為．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若方程在內(nèi)有兩個不等實根，求的取值范圍（其中為自然對數(shù)的底，）；

（Ⅲ）令，如果圖象與軸交于，AB中點為，求證：．

20．解：（Ⅰ），，．

∴，且．    …………………… 2分

解得a＝2，b＝1．                           …………………… 4分

（Ⅱ），令，

則，令，得x＝1（x＝－1舍去）．

在內(nèi)，當(dāng)x∈時，，∴h(x)是增函數(shù)；

當(dāng)x∈時，，∴h(x)是減函數(shù)．     …………………… 7分

則方程在內(nèi)有兩個不等實根的充要條件是……10分

即．                                               …………………… 12分

（Ⅲ），．

假設(shè)結(jié)論成立，則有

①－②，得．

∴．

由④得，

∴．即．

即．⑤                              …………………… 14分

令，（0＜t＜1)，

則＞0．∴在0＜t＜1上增函數(shù)．

，∴⑤式不成立，與假設(shè)矛盾．

∴．                     ………………………………… 16分

數(shù) 學(xué)（附加題）

21．（選做題）從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分．

A．選修4―1　幾何證明選講

如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓

交AC于D．求證：．

B．選修4―2　矩陣與變換

已知矩陣，求特征值λ₁，λ₂及對應(yīng)的特征向量α₁，α₂．

C．選修4―4　參數(shù)方程與極坐標(biāo)

已知直線和圓，判斷直線和圓的位置關(guān)系．

D．選修4―5　不等式證明選講

若，證明  。

必做題（每題10分，共20分）

22。正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E為A₁A的中點。

（Ⅰ）求所成角的大��；

（Ⅱ）到平面的距離。

23．已知方程為常數(shù)。

（Ⅰ）若，，求方程的解的個數(shù)的期望；

（Ⅱ）若內(nèi)等可能取值，求此方程有實根的概率．