(25分)從赤道上的C點發(fā)射洲際導彈，使之精確地擊中北極點N，要求發(fā)射所用的能量最少.假定地球是一質量均勻分布的半徑為R的球體，R=6400km.已知質量為m的物體在地球引力作用下作橢圓運動時，其能量E與橢圓半長軸a的關系為式中M為地球質量，G為引力常量.

1.假定地球沒有自轉，求最小發(fā)射速度的大小和方向(用速度方向與從地心O到發(fā)射點C的連線之間的夾角表示).

2.若考慮地球的自轉，則最小發(fā)射速度的大小為多少？

3.試導出。

(25分)圖中正方形ABCD是水平放置的固定梁的橫截面，AB是水平的，截面的邊長都是l.一根長為2l的柔軟的輕細繩，一端固定在A點，另一端系一質量為m的小球，初始時，手持小球，將繩拉直，繞過B點使小球處于C點.現(xiàn)給小球一豎直向下的初速度v₀，使小球與CB邊無接觸地向下運動，當，分別取下列兩值時，小球將打到梁上的何處？

1.

2.

設繩的伸長量可不計而且繩是非彈性的.

(25分)圖示為一固定不動的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑為R，圓筒的軸線在O處.圓筒內有勻強磁場，磁場方向與圓筒的軸線平行，磁感應強度為B.筒壁的H處開有小孔，整個裝置處在真空中.現(xiàn)有一質量為m、電荷量為q的帶電粒子P以某一初速度沿筒的半徑方向從小孔射入圓筒，經與筒壁碰撞后又從小孔射出圓筒.設：筒壁是光滑的，P與筒壁碰撞是彈性的，P與筒壁碰撞時其電荷量是不變的.若要使P與筒壁碰撞的次數(shù)最少，問：

1.P的速率應為多少？

2.P從進入圓筒到射出圓筒經歷的時間為多少？

(25分)如圖所示，兩個金屬輪A₁、A₂，可繞通過各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬軸O₁和O₂轉動，O₁和O₂相互平行，水平放置.每個金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，A₁輪的輻條長為a₁、電阻為R₁，A₂輪的輻條長為a₂、電阻為R₂，連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略.半徑為a₀的絕緣圓盤D與A₁同軸且固連在一起.一輕細繩的一端固定在D邊緣上的某點，繩在D上繞足夠匝數(shù)后，懸掛一質量為m的重物P.當P下落時，通過細繩帶動D和A₁繞O₁軸轉動.轉動過程中，A₁、A₂保持接觸，無相對滑動；兩輪與各自細軸之間保持良好的電接觸；兩細軸通過導線與一阻值為R的電阻相連.除R和A₁、A₂兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計.整個裝置處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向與轉軸平行.現(xiàn)將P釋放，試求P勻速下落時的速度.

(20分)一對正、負電子可形成一種壽命比較短的稱為電子偶素的新粒子.電子偶素中的正電子與負電子都以速率v繞它們連線的中點做圓周運動.假定玻爾關于氫原子的理論可用于電子偶素，電子的質量m、速率v和正、負電子間的距離r的乘積也滿足量子化條件.即式中n稱為量子數(shù)，可取整數(shù)值1，2，3，…；h為普朗克常量.試求電子偶素處在各定態(tài)時的r和能量以及第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)能量之差.

(20分)一根長為L(以厘米為單位)的粗細均勻的、可彎曲的細管，一端封閉，一端開口，處在大氣中，大氣的壓強與H厘米高的水銀柱產生的壓強相等，已知管長L＞H.現(xiàn)把細管彎成L形，如圖所示.假定細管被彎曲時，管長和管的內徑都不發(fā)生變化.可以把水銀從管口徐徐注入細管而不讓細管中的氣體泄出.當細管彎成L形時，以l表示其豎直段的長度，問l取值滿足什么條件時，注入細管的水銀量為最大值？給出你的論證并求出水銀量的最大值(用水銀柱的長度表示).

（8分）有一靜電場，其電勢U隨坐標x的改變而變化，變化的圖線如圖1所示.試在圖2中畫出該靜電場的場強E隨x變化的圖線(設場強沿x軸正方向時取正值，場強沿x軸負方向時取負值)

（12分）如圖所示，電荷量為q₁的正點電荷固定在坐標原點O處，電荷量為q₂的正點電荷固定在x軸上，兩電荷相距l(xiāng).已知q₂=2q₁.

 (i)求在x軸上場強為零的P點的坐標；

 (ii)若把一電荷量為q₀的點電荷放在P點，試討論它的穩(wěn)定性(只考慮q₀被限制在沿x軸運動和被限制在沿垂直于x軸方向運動這兩種情況)。

（8分）有兩個凸透鏡，它們的焦距分別為f₁和f₂，還有兩個凹透鏡，它們的焦距分別為f₃和f₄.已知，f₁＞f₂＞|f₃|＞|f₄|.如果要從這四個透鏡中選取兩個透鏡，組成一架最簡單的單筒望遠鏡，要求能看到放大倍數(shù)盡可能大的正立的像，則應選焦距為____的透鏡作為物鏡，應選焦距為____的透鏡作為目鏡。

（12分）老爺爺?shù)难劬κ抢匣ㄑ?

 (i)一物體P放在明視距離處，老爺爺看不清楚.試在示意圖1中畫出此時P通過眼睛成像的光路示意圖.

 (ii)戴了一副300度的老花鏡后，老爺爺就能看清楚放在明視距離處的物體P，試在示意圖2中畫出P通過老花鏡和眼睛成像的光路示意圖.

 (iii)300度的老花鏡的焦距f=____m.