Question

 一傾角α（α＜２°）的斜劈固定在水平地面上，高為h，光滑小球從斜劈頂點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，到達(dá)底端Ｂ所用時(shí)間為t₁，將通過(guò)Ａ、Ｂ兩點(diǎn)的斜劈剜成一個(gè)圓弧面，使圓弧面在Ｂ點(diǎn)與底面相切，小球從Ａ沿圓弧運(yùn)動(dòng)到Ｂ，所用時(shí)間為t₂，求t₁與t₂的比值。

Answer 1

4: π

要求兩種運(yùn)動(dòng)時(shí)間的比值需要求出兩種運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，光滑小      
球從斜劈頂點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，這是一個(gè)同學(xué)的熟悉
的運(yùn)動(dòng)模型，應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求解．但是把斜面剜成
圓弧面則不易求解．同學(xué)會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手，無(wú)限分割，變曲為直，數(shù)學(xué)知識(shí)又跟不上，幾乎無(wú)法求解．但是分析發(fā)現(xiàn)剜成圓弧面在Ｂ點(diǎn)與底面相切，以Ｂ點(diǎn)為中心，在其右側(cè)補(bǔ)償一個(gè)對(duì)稱的圓弧面，小球的運(yùn)動(dòng)即變成了一個(gè)同學(xué)們都熟悉的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)模型了，小球沿ＡＢ弧運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為類單擺運(yùn)
動(dòng)周期的四分之一。
如圖２（α），小球斜劈頂點(diǎn)，由靜止開(kāi)始，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度a=g?sina根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式　Ｓ＝at² 有
=at²=　g?sina?t²₁
∴ t₁=
將圖２（b）以Ｂ點(diǎn)為中心，在其右側(cè)補(bǔ)償一個(gè)與ＡＢ圓弧對(duì)稱的ＢＣ圓弧如圖３，設(shè)ＡＢＣ圓弧的對(duì)應(yīng)半徑為Ｒ分析小球受力可知在a<2°的情況下，有２a<4°，小球在ＡＢＣ圓弧上的運(yùn)動(dòng)可近看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且有小球運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力Ｆ＝－?x　周期為Ｔ＝２π,根據(jù)圖示，
有L－h(huán)=2L?cos2a
∴ L==
∴ T=2π
t₂=T=?2π=?
∴ t₁:t₂＝?    ?="4:" π