Question

2．2014年11月1日，嫦娥五號(hào)再入返回飛行試驗(yàn)返回器在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域順利著陸，這標(biāo)志著中國探月工程三期再入返回飛行試驗(yàn)獲得圓滿成功．若該試驗(yàn)器在地球表面的重力為G₁，在月球表面的重力為G₂，已知地球半徑為R₁，月球半徑R₂，地球表面處的重力加速度為g，則月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為多少？月球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為多少？

Answer 1

分析 根據(jù)重力和萬有引力相等，求出月球和地球的質(zhì)量之比；根據(jù)萬有引力提供向心力，得出第一宇宙速度公式，再求比值

解答 解：探測器在地球表面重力為${G}_{1}^{\;}=mg$，探測器在月球表面的重力為${G}_{2}^{\;}=m{g}_{月}^{\;}$
$\frac{{G}_{1}^{\;}}{{G}_{2}^{\;}}=\frac{g}{{g}_{月}^{\;}}$
解得${g}_{月}^{\;}=\frac{{G}_{2}^{\;}}{{G}_{1}^{\;}}g$
探測器在月球表面$m{g}_{月}^{\;}=G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{2}^{2}}$①
探測器在地球表面$mg=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{1}^{2}}$②
聯(lián)立①②得：$\frac{{g}_{月}^{\;}}{g}=\frac{{M}_{月}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{1}^{2}}{{R}_{2}^{2}}$
解得：$\frac{{M}_{月}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}=\frac{{g}_{月}^{\;}}{{g}_{\;}^{\;}}\frac{{R}_{2}^{2}}{{R}_{1}^{2}}=\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{2}}{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{2}}$
根據(jù)萬有引力提供向心力，$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得第一宇宙速度$v=\sqrt{gR}$
地球的第一宇宙速度${v}_{地}^{\;}=\sqrt{g{R}_{1}^{\;}}$
月球的第一宇宙速度${v}_{月}^{\;}=\sqrt{{g}_{月}^{\;}{R}_{2}^{\;}}$
月球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比$\frac{{v}_{月}^{\;}}{{v}_{地}^{\;}}=\frac{\sqrt{{g}_{月}^{\;}{R}_{2}^{\;}}}{\sqrt{g{R}_{1}^{\;}}}=\sqrt{\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{\;}}{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{\;}}}$
答：月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為$\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{2}}{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{2}}$，月球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為 $\sqrt{\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{\;}}{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{\;}}}$

點(diǎn)評 萬有引力在天體中的運(yùn)動(dòng)，主要是萬有引力充當(dāng)向心力，注意向心力的表達(dá)有多種形式，應(yīng)靈活選擇．