Question

2．在豎直平面內(nèi)建立一平面直角坐標(biāo)系xoy，x軸沿水平方向，如圖甲所示，第一象限內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第二象限內(nèi)有一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)．某種發(fā)射裝置（未畫(huà)出）豎直向上發(fā)射出一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（可視為質(zhì)點(diǎn)），該粒子以v₀的初速度從x軸上的A點(diǎn)進(jìn)入第二象限，并從y軸上的C點(diǎn)沿水平方向進(jìn)入第一象限后能夠沿水平方向進(jìn)入第一象限后能夠沿水平方向運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，已知OA、OC距離相等，CD的距離為$\sqrt{3}$OC，E點(diǎn)在D點(diǎn)正下方，位于x軸上，重力加速度為g．則：
（1）求粒子在C點(diǎn)的速度大小以及OC之間的距離；
（2）若第一象限同時(shí)存在按如圖乙所示規(guī)律變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面，（以垂直紙面向外的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�方向，圖中B₀，T₀均為未知量），并且在t=$\frac{{T}_{0}}{4}$時(shí)刻粒子由C點(diǎn)進(jìn)入第一象限，且恰好也能通過(guò)同一水平線上的D點(diǎn)，速度方向仍然水平．若粒子在第一象限中運(yùn)動(dòng)的周期與磁場(chǎng)變化周期相同，求交變磁場(chǎng)變化的周期；
（3）若第一象限仍同時(shí)存在按如圖乙所示規(guī)律變化的磁場(chǎng)（以垂直紙面向外的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�方形，圖中B₀，T₀均為未知量），調(diào)整圖乙中磁場(chǎng)變化的周期，讓粒子在t=0時(shí)刻由C點(diǎn)進(jìn)入第一象限，且恰好能通過(guò)E點(diǎn)，求交變磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度圖中B₀應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）將粒子在第二象限內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，在水平方向上受電場(chǎng)力做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上受重力做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)豎直分速度為零，結(jié)合水平位移和豎直位移，抓住等時(shí)性，求出C點(diǎn)的速度大�。�
（2）作出粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的示意圖，結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的周期性，抓住到達(dá)D點(diǎn)的速度方向水平，求出磁場(chǎng)變化的周期．
（3）作出粒子恰好通過(guò)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)示意圖，結(jié)合帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式，結(jié)合周期性求出B₀應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）豎直方向y=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$t，
水平方向x=y=$\frac{{v}_{c}+0}{2}$t
則v_c=v₀
豎直方向上：L_oc=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）因?yàn)闆](méi)有磁場(chǎng)時(shí)粒子能夠沿水平方向到達(dá)D點(diǎn)所以應(yīng)該滿足qE₂=mg，帶電粒子在第一象限將做速度也為v₀的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
使粒子從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到同一水平線上的D點(diǎn)，如右圖所示，則有：qv₀B₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
由位移關(guān)系4nR=$\sqrt{3}$L_oc（n=1，2，3…）
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期T₀′=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
則磁場(chǎng)變化周期T₀=T₀′=$\frac{\sqrt{3}π{v}_{0}}{4ng}$（n=1，2，3…）
（3）使粒子從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，如右圖所示，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)軌道半徑為R′，則每經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)的半個(gè)周期粒子轉(zhuǎn)過(guò)圓心角60°，
nR′=n$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}′}$=2L_oc（n=1，2，3…）
交變磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足的關(guān)系：B₀′=$\frac{nmg}{q{v}_{0}}$（n=1，2，3…）
答：（1）粒子在C點(diǎn)的速度大小為v₀，OC之間的距離為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$．
（2）磁場(chǎng)變化周期為$\frac{\sqrt{3}π{v}_{0}}{4ng}$（n=1，2，3…）；
（3）交變磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀應(yīng)滿足的條件為B₀′=$\frac{nmg}{q{v}_{0}}$（n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題中質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，分析受力情況，確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況是解題的基礎(chǔ)．結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的周期性，運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)綜合求解．