Question

【題目】游樂(lè)場(chǎng)的過(guò)山車可以底朝上在圓軌道上送行，游客卻不會(huì)掉下來(lái)。我們把這種情況抽象為如右圖的模型。如圖所示，AB是傾角為θ粗糙直軌道，BCD是光滑的圓環(huán)軌道，AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切，圓弧的半經(jīng)為R，一個(gè)質(zhì)量為m的物體（可以看做質(zhì)成)從直軌道上的P點(diǎn)由靜止釋放，結(jié)果能在兩軌道間做往返運(yùn)動(dòng)。已知P點(diǎn)與圓弧的圓心等高，物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。求：

（1）物體第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

（2）物體做往返運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中在AB軌道上通過(guò)的總路程；

（3）為使物體能順利到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)D，釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離應(yīng)滿足什么條件?

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）L′≥

【解析】

（1）設(shè)物體第一次到達(dá)B點(diǎn)的速度為vB，由動(dòng)能定理可知
（mgsinθ-μmgcosθ）=mvB2-0
得
（2）物體在P點(diǎn)及最終到B點(diǎn)的速度都為零，對(duì)全過(guò)程由動(dòng)能定理得
mgRcosθ-μmgcosθs=0
得s=R/μ
（3）設(shè)物體剛好通過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度為vD，有：mg=m，
得：vD=
設(shè)物體恰好通過(guò)D點(diǎn)時(shí)釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離為L0，在粗糙直軌道上重力的功WG1=mgL0sinθ
滑動(dòng)摩擦力的功：Wf=-μmgcosθL0
在光滑圓弧軌道上重力的功WG2=-mgR（1+cosθ）
對(duì)全過(guò)程由動(dòng)能定理得WG1+WG2+Wf=mvD2-0
解得L0=
則L′≥