Question

（2010?泰安二模）如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑圓弧形軌道MNP，其半徑R=0.8m，OM為水平半徑，ON為豎直半徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R，∠PON=45°第一次用質(zhì)量m₁=1.1kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后物塊停在B點(diǎn)（B點(diǎn)為彈簧原長(zhǎng)位置），第二次用同種材料、質(zhì)量為m₂=0.1kg的物塊將彈簧也緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊過B點(diǎn)后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的關(guān)系為x=6t-2t²（m），物塊從桌面右邊緣D點(diǎn)飛離桌面后，由P點(diǎn)沿圓軌道切線落入圓軌道．（g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力）求：
（1）BC間的距離；
（2）m₂由B運(yùn)動(dòng)到D所用時(shí)間；
（3）物塊m₂運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)，m₂對(duì)軌道的壓力．

Answer 1

分析：（1）物塊離開B點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可知物體運(yùn)動(dòng)的初速度和加速度，通過牛頓第二定律可求出摩擦因數(shù)，在BC段時(shí)，由動(dòng)能定理可求出BC的長(zhǎng)度．
（2）知道從D到P下降的高度，可知在豎直方向的速度，因?yàn)槲矬w從P點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道，在P點(diǎn)時(shí)tan 45°=

vy

vD

，可知 從D點(diǎn)拋出時(shí)的速度，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出在BD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）物塊從P點(diǎn)到M點(diǎn)，由機(jī)械能守恒可求出M點(diǎn)的速度，由支持力提供向心力可求得支持力．

解答：解：（1）由x=6t-2t²知
v_B=6 m/s　a=-4 m/s² 
m₂在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)-m₂gμ=m₂a
解得μ=0.4 
設(shè)彈簧長(zhǎng)為AC時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能為E_p
m₁釋放時(shí)E_p=μm₁gs_BC 
m₂釋放時(shí)E_p=μm₂gs_BC+

1

2

m₂v_B²  
解得s_BC=0.5 m
（2）設(shè)m₂由D點(diǎn)拋出時(shí)速度為v_D，落到P點(diǎn)的豎直速度為v_y
在豎直方向v_y²=2gR，解得v_y=

2gR

=4 m/s 
在P點(diǎn)時(shí)tan 45°=

vy

vD

 
解得v_D=4 m/s 
m₂由B到D所用的時(shí)間t=

vD-vB

a

=0.5 s 
（3）m₂由P運(yùn)動(dòng)到M的過程，由機(jī)械能守恒定律得
m₂v_P²+m₂g（R-Rcos 45°）=

1

2

m₂v_M²+m₂gR 
在M點(diǎn)時(shí)，對(duì)m₂受力分析，由牛頓第二定律得
F_N=m

vM2

R

解得F_N=（4-

2

） N
由牛頓第三定律知，小球?qū)�軌道的壓力為�?-

2

） N
答：（1）BC間的距離0.5 m；
（2）m₂由B運(yùn)動(dòng)到D所用時(shí)間0.5 s；
（3）物塊m₂運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)，m₂對(duì)軌道的壓力為（4-

2

） N．

點(diǎn)評(píng)：該題是平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)的綜合題，該題中要熟練掌握機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律，以及圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題．