Question

兩根相距為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)的金屬直角導(dǎo)軌如圖所示放置，它們各有一邊在同一水平面內(nèi)，另一邊垂直于水平面．質(zhì)量均為m的金屬細(xì)桿ab、cd與導(dǎo)軌垂直接觸形成閉合回路，桿與水平和豎直導(dǎo)軌之間有相同的動(dòng)摩擦因數(shù)u，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，回路總電阻為2R，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)大小為B₀、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．當(dāng)ab桿在平行于水平導(dǎo)軌的拉力作用下沿導(dǎo)軌勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，cd桿也正好以某一速度向下做勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中金屬細(xì)桿ab，cd與導(dǎo)軌接觸良好，重力加速度為g．求：
（1）ab桿勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₁．
（2）ab桿以v₁勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，cd稈以v₂（v₂已知）勻速運(yùn)動(dòng)，則在cd桿向下運(yùn)動(dòng)h的過(guò)程中，整個(gè)回路中產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）ab桿以v₁勻速運(yùn)動(dòng)至ab桿距豎直導(dǎo)軌L₁時(shí)，保持拉力不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度開(kāi)始隨時(shí)間發(fā)生變化，使ab桿做加速度為

g

u

的勻加速運(yùn)動(dòng)，試推導(dǎo)磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小，由歐姆定律求得感應(yīng)電流，即得到ab所受的安培力大��；再由左手定則，來(lái)判定安培力的方向，根據(jù)受力平衡，即可求解ab桿勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₁．
（2）根據(jù)ab桿勻速運(yùn)動(dòng)，可求出運(yùn)動(dòng)的距離；再由整個(gè)過(guò)程中運(yùn)用能量守恒，可得出，焦耳熱等于克服安培力所做的功，即可求解整個(gè)回路中產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）ab桿做加速度為

g

u

的勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得到F與加速度a的關(guān)系式，要使ab桿做勻加速運(yùn)動(dòng)，安培力必須為零，回路的磁通量應(yīng)不變，根據(jù)磁通量不變列式，即可得到B與t的關(guān)系式．

解答：解：（1）ab桿向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)閍→b，大小為E=BLv₁ ①
cd桿中的感應(yīng)電流方向?yàn)閐→c，大小 I=

E

2R

．②
cd桿受到的安培力方向水平向右，大小為F_安=BIL ③
cd桿向下勻速運(yùn)動(dòng)，有mg=μF_安  ④
解①、②、③、④式得，ab桿勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v₁=

2mgR

μB2L2

（2）設(shè)cd桿以v₂速度向下運(yùn)動(dòng)h過(guò)程中，ab桿勻速運(yùn)動(dòng)了s距離
則

s

v1

=

h

v2

．
整個(gè)回路中產(chǎn)生的焦耳熱等于克服安培力所做的功Q=F_安s
得 Q=

2(mg)2hR

μ2v2B2L2

（3）ab桿、cd桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，有 F=μmg+F_安 ⑤
由④⑤得，F(xiàn)=(μ+

1

μ

)mg
ab桿做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，有 F-μmg-F′_安=ma
要使a恒定，必須滿足F′_安=0，感應(yīng)電流為零，回路的磁通量應(yīng)不變，△Φ=0
則有 B₀IL₁=BL（L₁+v1t+

1

2

at2）
解得，B=

B0L1

L1+ IRmg μB2L2 + g 2μ t2

答：
（1）ab桿勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₁為

2mgR

μB2L2

．
（2）在cd桿向下運(yùn)動(dòng)h的過(guò)程中，整個(gè)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為

2(mg)2hR

μ2v2B2L2

．
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為B=

B0L1

L1+ IRmg μB2L2 + g 2μ t2

．

點(diǎn)評(píng)：考查法拉第電磁感應(yīng)定律、左手定則、平衡方程、能量守恒定律等規(guī)律的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)受力分析的正確性，同時(shí)突出克服安培力所做的功等于產(chǎn)生的焦耳熱．