Question

2013年12月6日17時(shí)53分，嫦娥三號(hào)探測(cè)器成功完成一次“太空剎車”動(dòng)作，順利進(jìn)入距月面平均高度H=100km的環(huán)月圓軌道，然后再次變軌進(jìn)入橢圓軌道，最后進(jìn)行月球表面軟著陸．軟著陸過(guò)程可簡(jiǎn)化為三個(gè)階段：距月球表面15km時(shí)打開反推發(fā)動(dòng)機(jī)減速，下降到距月球表面h₁=l00m高度時(shí)懸停，尋找合適落月點(diǎn)；找到落月點(diǎn)后繼續(xù)下降，距月球表面h₂=4m時(shí)速度再次減為0；此后，關(guān)閉所有發(fā)動(dòng)機(jī)，使它做自由落體運(yùn)動(dòng)落到月球表面．已知嫦娥三號(hào)質(zhì)量為m，月球表面重力加速度為g′，月球半徑為R，忽略嫦娥三號(hào)的質(zhì)量變化．求嫦娥三號(hào)（所有結(jié)果均用題給字母表示）：
（1）經(jīng)“太空剎車”后的速度大��；
（2）懸停時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)其的作用力；
（3）從懸停到落至月球表面，發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)其做的功．

Answer 1

（1）設(shè)月球質(zhì)量M，在圓軌道時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律G

Mm

(R+H)2

=m

v2

R+H

靜止在月球表面上的物體m′，
G

Mm′

R2

=m′g′
公式代入變換后得：v=

g′R2 R+H

．
（2）因受力平衡，有F=mg′
（3）從h₁=l00m處到達(dá)h₂=4m處過(guò)程，設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)做功W₁
由動(dòng)能定理mg′（h₁-h₂）+W₁=0
從h₂=4m處落至月面過(guò)程，關(guān)閉所有發(fā)動(dòng)機(jī)，發(fā)動(dòng)機(jī)做功為0
得發(fā)動(dòng)機(jī)做功W=W1=mg′(h2-h1)
答：（1）經(jīng)“太空剎車”后的速度大小v=

g′R2 R+H

．
（2）懸停時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)其的作用力為mg′．
（3）從懸停到落至月球表面，發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)其做的功為mg′（h₂-h₁）．