Question

11．探月工程三期飛行試驗器于2014年10月24日2時在中國西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，飛行試驗器飛抵距月球6萬千米附近進入月球引力影響區(qū)，開始在月球近旁轉向飛行，最終進入距月球表面h=200km的圓形工作軌道．設月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，則下列選項錯誤的是（　�。�

• A． 飛行試驗器繞月球運行的周期為2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• B． 飛行試驗器工作軌道處的重力加速度為（$\frac{R}{R+h}$）²g
• C． 飛行試驗器在工作軌道上的繞行速度為R$\sqrt{\frac{R}{R+h}}$
• D． 月球的平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$

Answer 1

分析 月球表面重力與萬有引力相等，衛(wèi)星繞月轉動時萬有引力提供圓周運動向心力．

解答 解：令月球質量為M，在月球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得GM=gR²
A、飛行器繞月運行時萬有引力提供圓周運動向心力有：$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，可得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$，故A錯誤；
B、在飛行器工作軌道處的重力加速度g$′=\frac{GM}{（R+h）^{2}}=g\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$，故B正確；
C、飛行器工作軌道上的繞行速度滿足$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$即v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$，故C錯誤；
D、月球的密度$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{g{R}^{2}}{G\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3g}{4GπR}$，故D正確．
本題選擇錯誤的是，故選：AC．

點評 萬有引力提供圓周運動向心力和萬有引力與星球表面重力相等是解決此類問題的主要入手點，關鍵是掌握相關公式及公式變換．