Question

14．某人造衛(wèi)星距地面高h(yuǎn)，地球半徑為R，地面重力加速度g₀，分別用h、R、g₀表示衛(wèi)星周期T、線(xiàn)速度v、角速度ω．

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，求得衛(wèi)星周期、線(xiàn)速度和角速度與軌道半徑的表示式；
在地球表面重力與萬(wàn)有引力相等，由重力加速度和地球半徑求出地球質(zhì)量，再求解即可．

解答 解：設(shè)衛(wèi)星的軌道半徑為r，地球的質(zhì)量為M．則 r=R+h
根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，有：
  G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r 
解得，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期 T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，線(xiàn)速度 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，角速度ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
在地球表面，由mg₀=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得GM=g₀R²；
聯(lián)立解得 $T=\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g_0}}$，$v=\sqrt{\frac{{{g_0}{R^2}}}{R+h}}$，ω=$\sqrt{\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
答：衛(wèi)星周期T、線(xiàn)速度v、角速度ω分別為：$T=\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g_0}}$，$v=\sqrt{\frac{{{g_0}{R^2}}}{R+h}}$，ω=$\sqrt{\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力應(yīng)用的兩個(gè)關(guān)鍵：一是在星球表面重力與萬(wàn)有引力相等，二是萬(wàn)有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，掌握并靈活運(yùn)用萬(wàn)有引力與向心力公式是正確解題的關(guān)鍵．