Question

如圖所示，豎直平面內(nèi)有足夠長、不計(jì)電阻的兩組平行光滑金屬導(dǎo)軌，寬度均為L=0.5m，上方連接一個(gè)阻值R=1Ω的定值電阻，虛線下方的區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．完全相同的兩根金屬桿1和2靠在導(dǎo)軌上，金屬桿長與導(dǎo)軌等寬且與導(dǎo)軌接觸良好，電阻均為r=0.5Ω．將金屬桿1固定在磁場(chǎng)的上邊緣（仍在此磁場(chǎng)內(nèi)），金屬桿2從磁場(chǎng)邊界上方h₀=0.8m處由靜止釋放，進(jìn)入磁場(chǎng)后恰作勻速運(yùn)動(dòng)．（g取10m/s²）求：（1）金屬桿的質(zhì)量m；
（2）若金屬桿2從磁場(chǎng)邊界上方h₁=0.2m處由靜止釋放，進(jìn)入磁場(chǎng)下落一段距離后做勻速運(yùn)動(dòng)．在金屬桿2加速的過程中整個(gè)回路產(chǎn)生了1.4J的電熱．求此過程中流過電阻R的電荷量q；
（3）若金屬桿2仍然從磁場(chǎng)邊界上方h₁=0.2m處由靜止釋放，在金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)的同時(shí)釋放金屬桿1，試求兩根金屬桿各自的最大速度．

Answer 1

分析：（1）金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)前做自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速運(yùn)動(dòng)，重力與安培力平衡，E=BLv，I=

E

2r+R

、F=BIL，及平衡條件可求得m．
（2）金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)經(jīng)過一段時(shí)間后開始勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小仍等于v．根據(jù)能量守恒求出h₂，由

.

E

=

△Φ

△t

=

BLh2

t2

，

.

I

=

. E

2r+R

，q=

.

I

?t2求出電量q．
（3）釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速運(yùn)動(dòng)，合力等于零時(shí)速度最大．根據(jù)平衡條件得到兩桿速度之和．由于兩個(gè)金屬桿任何時(shí)刻受力情況相同，任何時(shí)刻兩者量也相的加速度也都相同，在相同時(shí)間內(nèi)速度的增同，根據(jù)速度增量相同，得到速度的關(guān)系，聯(lián)立求解兩桿的最大速度．

解答：解：（1）金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)前做自由落體運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)的速度
v_m=

2gh0

=4m/s
金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)后切割磁感線，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，有
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv_m，感應(yīng)電流  I=

E

2r+R

金屬桿恰做勻速運(yùn)動(dòng)，受安培力和重力平衡：mg=BIL
解出m=

B2L2vm

(2r+R)g

=

22×0.52×4

(2×0.5+1)×10

kg=0.2kg                    
（2）金屬桿2自由下落h₁，進(jìn)入磁場(chǎng)，做加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)金屬桿2在磁場(chǎng)內(nèi)下降h₂后達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)，在加速的過程中，部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能產(chǎn)生電熱，有
mg（h₁+h₂）=

1

2

m

v

2 m

+Q
可得         h₂=

m v 2 m +2Q

2mg

-h₁=1.3m
金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)到勻速運(yùn)動(dòng)的過程中

.

E

=

△?

△t

=

BLh2

△t

，

.

I

=

. E

(2r+R)

解出流過電阻的電量　　q=

.

I

?△t=

BLh2

(2r+R)

=

2×0.5×1.3

(2×0.5+1)

C=0.65C      　 
（3）金屬桿2剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v=

2gh1

=

2×10×0.2

m/s=2m/s
金屬桿2進(jìn)入磁場(chǎng)同時(shí)釋放金屬桿1后，回路中有感應(yīng)電流，兩桿都受安培力和重力，且受力情況相同，都向下做加速運(yùn)動(dòng)，隨速度增大，感應(yīng)電流增大，安培力增大，直到安培力和重力相等時(shí)，速度達(dá)到最大．
金屬桿1和2產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₁=BLv₁，E₂=BLv₂
感應(yīng)電流為　I=

E1+E2

2r+R

達(dá)到最大速度時(shí)桿的重力等于安培力
mg=BIL
整理得到：v₁+v₂=

mg(2r+R)

B2L2

代入數(shù)據(jù)得v₁+v₂=4 m/s…①
因?yàn)閮蓚�(gè)金屬桿任何時(shí)刻受力情況相同，因此任何時(shí)刻兩者的加速度也都相同，在相同時(shí)間內(nèi)速度的增量也必相同，即：v₁-0=v₂-v
代入數(shù)據(jù)得v₂=v₁+2…②
①②兩式聯(lián)立求出：v₁=1m/s，v₂=3m/s            
答：（1）金屬桿2的質(zhì)量m為0.2kg．
（2）流過電阻R的電量q為0.65C．
（3）兩根金屬桿各自的最大速度分別是1m/s和3m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，第3問關(guān)鍵是抓住兩桿的加速度相同，任何時(shí)刻速度的增量相同這一隱含的條件分析兩桿的速度關(guān)系．