Question

11．如圖所示，一輕質(zhì)彈簧左端固定，其自由端在O點(diǎn)，O點(diǎn)左側(cè)水平面光滑，右側(cè)OB段粗糙，水平面OB與豎直半圓光滑軌道CD在B點(diǎn)無(wú)摩擦連接（C點(diǎn)略高于B點(diǎn)），軌道末端D點(diǎn)切線水平，且緊貼水平轉(zhuǎn)盤(pán)邊緣上方．現(xiàn)用力將質(zhì)量m=2kg的小物塊向左壓縮彈簧（物塊與彈簧不相連），使彈簧儲(chǔ)存一定能量E₀，撤去外力，小物塊向右運(yùn)動(dòng)，在B點(diǎn)恰好能沿圓軌道CD運(yùn)動(dòng)，再由D點(diǎn)水平滑上轉(zhuǎn)盤(pán)，若小物塊滑上轉(zhuǎn)盤(pán)就立即無(wú)相對(duì)滑動(dòng)地隨轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)，已知物塊與OB段的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，OB長(zhǎng)L=$\frac{11}{8}$m，豎直圓軌道半徑r=0.5m，轉(zhuǎn)盤(pán)半徑R=4m．g=10m/s²，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，求：
（1）彈簧所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E₀；
（2）轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω；
（3）物塊與轉(zhuǎn)盤(pán)間的動(dòng)摩擦因數(shù)應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）物塊在B點(diǎn)恰好能沿圓軌道CD運(yùn)動(dòng)，在B點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出B點(diǎn)的速度，物塊從O點(diǎn)離開(kāi)彈簧過(guò)程，彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為物塊的動(dòng)能，由動(dòng)能定理求彈性勢(shì)能E₀；
（2）物塊從C到D，由動(dòng)能定理求出物塊到D點(diǎn)的速度，由v=rω求角速度．
（3）物塊隨轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)由靜摩擦力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律分析動(dòng)摩擦因數(shù)應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）因物塊恰好能沿圓軌道CD運(yùn)動(dòng)，所以在B點(diǎn)有：
   mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
物塊從O點(diǎn)離開(kāi)彈簧，彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為物塊的動(dòng)能，物塊從O到B，由動(dòng)能定理知 
-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-{E}_{0}$
聯(lián)立解得 E₀=16J
（2）物塊從C到D，由動(dòng)能定理得
  2mgr=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 v_D=$\sqrt{5gr}$=5m/s
由題意知轉(zhuǎn)盤(pán)邊緣的線速度大小即為物塊在D點(diǎn)的速度大小，由v_D=ωR得
轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω=1.25rad/s
（3）物塊在轉(zhuǎn)盤(pán)上受重力、支持力和靜摩擦力，且由摩擦力提供向心力，即 f=mω²R≤μ′mg
解得 μ′≥0.625
答：
（1）彈簧所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E₀是16J．
（2）轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω是1.25rad/s．
（3）物塊與轉(zhuǎn)盤(pán)間的動(dòng)摩擦因數(shù)應(yīng)滿足的條件是μ′≥0.625．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要分析清楚物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，即可正確解題．