Question

20．如圖，足夠長(zhǎng)的木板質(zhì)量M=10kg，放置于光滑水平地面上，以初速度v_o=5m/s沿水平地面向右勻速運(yùn)動(dòng)現(xiàn)有足夠多的小鐵塊，它們的質(zhì)量均為m=l kg，在木板上方有一固定擋板，當(dāng)木板運(yùn)動(dòng)到其最右端位于擋板正下方時(shí)．將一小鐵塊貼著擋板無初速地放在木板上，小鐵塊與木板的上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．當(dāng)木板運(yùn)動(dòng)了L=1m時(shí)，又無初速地貼著擋板在第1個(gè)小鐵塊上放上第2個(gè)小鐵塊．只要木板運(yùn)動(dòng)了L就按同樣的方式再放置一個(gè)小鐵塊，直到木板停止運(yùn)動(dòng)．（取g=l0m/s²）．試問：
（1）第1個(gè)鐵塊放上后，木板運(yùn)動(dòng)了L時(shí)，木板的速度多大．
（2）最終木板上放有多少個(gè)鐵塊．
（3）最后一個(gè)鐵塊放上后，木板還能向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出第1個(gè)鐵塊放上后，木板的加速度，再運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．
（2）每加上一個(gè)鐵塊，木板的合力增加μmg，表示出有n個(gè)鐵塊放在木板上的木板運(yùn)動(dòng)的加速度大小，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分析求解；
（3）研究放上第1個(gè)鐵塊至剛放上第7個(gè)鐵塊的過程，表示出末速度，再求解木板還能向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）第1個(gè)鐵塊放上后，木板做勻減速運(yùn)動(dòng)即有：μmg=Ma₁
${υ_0}^2-{υ_1}^2=2{a_1}L$
代入數(shù)據(jù)解得：${υ_1}=2\sqrt{6}m/s$
（2）設(shè)最終有n個(gè)鐵塊能放在木板上，則木板運(yùn)動(dòng)的加速度大小為${a_n}=\frac{μnmg}{M}$
第1個(gè)鐵塊放上后：$2{a_1}L=υ_0^2-υ_1^2$
第2個(gè)鐵塊放上后：$2{a_2}L=υ_1^2-υ_2^2$…
第n個(gè)鐵塊放上后，$2{a_n}L=v_{n-1}^2-υ_n^2$
由上可得；（1+2+3+…+n）$•2\frac{μmg}{M}L=υ_0^2-υ_n^2$
木板停下時(shí)，υ_n=0，得n=6.6即最終有7個(gè)鐵塊放在木板上
（3）從放上第1個(gè)鐵塊至剛放上第7個(gè)鐵塊的過程中，由（2）中表達(dá)式可得：
$\frac{（1+6）×6}{2}•2\frac{μmg}{M}L={υ_0}^2-{υ_6}^2$
從放上第7個(gè)鐵塊至木板停止運(yùn)動(dòng)的過程中，
設(shè)木板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則：
$t=\frac{υ_6}{a_7}$
聯(lián)立解得：$t=\frac{4}{7}$s
答：（1）第1個(gè)鐵塊放上后，木板運(yùn)動(dòng)了L時(shí)，木板的速度是2$\sqrt{6}$m/s．
（2）最終木板上放有7個(gè)鐵塊．
（3）最后一個(gè)鐵塊放上后，木板還能向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\frac{4}{7}$s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道木板上表面光滑，鐵塊相對(duì)于地面不動(dòng)，每增加一個(gè)鐵塊，木板的合力增加μmg，然后運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．