Question

5．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一平面直角坐標(biāo)系xoy，x軸水平、y軸豎直，在第1、4象限內(nèi)有沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．在第2、3象限內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第2象限內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電微粒從y軸上P點(diǎn)沿與y軸正方向成45°角的初速度進(jìn)入第3象限，初速度的大小為v₀，微粒在第3象限內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入第2象限后微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并與y軸負(fù)方向成45°角進(jìn)入第Ⅰ象限，在第1、4象限里運(yùn)動(dòng)后恰好能到達(dá)P點(diǎn)．已知第1、4象限內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度與第2、3象限內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相同，重力加速度為g．求：
（1）P點(diǎn)坐標(biāo)及電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）微粒從P點(diǎn)出發(fā)再回到P點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）微粒在第三象限內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度不變；在第二象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度的大小不變，所以進(jìn)入第一象限的微粒的速度大小仍然是v₀；由題意，微粒的速度的方向與電場(chǎng)力、重力的合力的方向垂直，在第一象限與第四象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的分解的方法即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分別求出三段時(shí)間，求和即可．

解答 解：（1）由題意，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖；

由于微粒在第三象限做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以微粒受到的合力為0，即電場(chǎng)力與重力大小相等，方向相反，所以：qE=mg
所以：E=$\frac{mg}{q}$
微粒在第一象限受到重力和電場(chǎng)力的作用，合力：
$F=\sqrt{{m}^{2}{g}^{2}+（qE）^{2}}=\sqrt{2}mg$
與豎直方向之間的夾角θ：tanθ=$\frac{mg}{qE}=1$
所以：θ=45°
由分析知，粒子進(jìn)入第一象限后的速度大小也是v₀，與y軸負(fù)方向成45°角進(jìn)入第Ⅰ象限，可知該方向與微粒受到的合力的方向垂直，所以粒子在第一象限與第四象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)．
沿水平方向的初速度：${v}_{x0}={v}_{0}sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$
由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，當(dāng)微粒再次回到與y軸的交點(diǎn)P時(shí)，沿水平方向的分速度：v_x′=-v_x0
水平方向受到電場(chǎng)力的作用，由動(dòng)量定理得：$-qE•{t}_{3}=m{v}_{x}′-m{v}_{x0}=-2m{v}_{x0}=-\sqrt{2}m{v}_{0}$
所以：t₃=$\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{g}$
沿豎直方向的初速度：${v}_{y0}={v}_{0}cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$
t₃時(shí)間內(nèi)微粒沿y方向的位移：$y={v}_{y0}•{t}_{3}+\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}$=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{g}$
由圖可知：$y=\overline{CP}=2\overline{OP}$
所以：$\overline{OP}=\frac{1}{2}y=\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$
則P點(diǎn)的坐標(biāo)是：（0，$-\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$）
由于在第二象限內(nèi)微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度的方向始終沿切線的方向，所以$\overline{AC}=2R$
由圖中的幾何關(guān)系可知，$\overline{AC}=\sqrt{2}\overline{OC}=\sqrt{2}\overline{OP}=\frac{\sqrt{2}{v}_{0}^{2}}{g}$
所以：R=$\frac{\sqrt{2}{v}_{0}^{2}}{2g}$
微粒在第二象限內(nèi)電場(chǎng)力等于重力，所以做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力恰好提供向心力，得：
$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
所以：$B=\frac{m{v}_{0}}{qR}=\frac{\sqrt{2}mg}{q{v}_{0}}$
（2）由圖可知：$\overline{AP}=\sqrt{2}\overline{OP}=\frac{\sqrt{2}{v}_{0}^{2}}{g}$
所以微粒在第三象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{\overline{AP}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{g}$
微粒在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，時(shí)間：${t}_{2}=\frac{πR}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{2}π{v}_{0}}{2g}$
微粒運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{g}+\frac{\sqrt{2}π{v}_{0}}{2g}+\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{g}$=$\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{2g}（4+π）$
答：（1）P點(diǎn)坐標(biāo)是（0，$-\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$），電場(chǎng)強(qiáng)度是$\frac{mg}{q}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是$\frac{\sqrt{2}mg}{q{v}_{0}}$；
（2）微粒從P點(diǎn)出發(fā)再回到P點(diǎn)所用的時(shí)間是$\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{2g}（4+π）$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電微粒在組合成中的運(yùn)動(dòng)，微粒分別經(jīng)過了勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)和類平拋運(yùn)動(dòng)的三段運(yùn)動(dòng)，屬于多過程的情況，要理清頭緒，抓住類平拋運(yùn)動(dòng)中水平方向運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性來解題，是解答該題的捷徑．