Question

16．假設(shè)某天你在一個(gè)半徑為R的星球上，手拿一只小球從離星球表面高h(yuǎn)處無(wú)初速釋放，測(cè)得小球經(jīng)時(shí)間t落地．若忽略星球的自轉(zhuǎn)影響，不計(jì)一切阻力，萬(wàn)有引力常量為G．求：
（1）該星球的質(zhì)量M；
（2）在該星球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度大小v．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出星球表面的重力加速度，利用重力等于萬(wàn)有引力求出星球質(zhì)量．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求解星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
解得$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
由$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得$M=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（2）由萬(wàn)有引力提供向心力有$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$v=\frac{\sqrt{2Rh}}{t}$
答：（1）該星球的質(zhì)量M為$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$；
（2）在該星球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度大小v為$\frac{\sqrt{2Rh}}{t}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的基本思路萬(wàn)有引力提供向心力，在星球表面任意物體的重力等于該星球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力．