Question

2008 年4月25日中國成功發(fā)射了首顆數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星“天鏈一號”，衛(wèi)星準(zhǔn)確定點于地球同步軌道．中繼衛(wèi)星享有“衛(wèi)星的衛(wèi)星”之譽，可為衛(wèi)星、飛船等航天器提供數(shù)據(jù)中繼和測控服務(wù)，極大地提高了各類衛(wèi)星使用效益和應(yīng)急能力．現(xiàn)用“天鏈一號”衛(wèi)星對某始終飛行在地球赤道上空的“資源衛(wèi)星”實施數(shù)據(jù)中繼和測控服務(wù)．設(shè)地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，“資源衛(wèi)星”和“天鏈一號”衛(wèi)星繞地球飛行時距地面的高度分別為h₁和h₂（h₁＜h₂）．求：
（1）該“資源衛(wèi)星”繞地球運行的周期；
（2）忽略由于“天鏈一號”衛(wèi)星的運行對測控范圍的影響，試估算：在“資源衛(wèi)星”運行一個周期的時間內(nèi)“天鏈一號”衛(wèi)星對它測控的時間．

Answer 1

分析：1、地球?qū)Α百Y源衛(wèi)星”的萬有引力提供向心力G

Mm

(R+h1)2

=m

4π2

T12

(R+h1)，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力m0g=G

Mm0

R2

，可解得該“資源衛(wèi)星”繞地球運行的周期T₁．
2、畫出“天鏈一號”衛(wèi)星與“資源衛(wèi)星”的空間關(guān)系圖型，根據(jù)空間的位置關(guān)系結(jié)合幾何知識求解“天鏈一號”衛(wèi)星測控的角度最大范圍θ，所以測控時間t=

θ

2π

T1，代入數(shù)據(jù)計算即可．

解答：解：（1）對“資源衛(wèi)星”繞地球運動，地球?qū)λ�的萬有引力提供向心力G

Mm

(R+h1)2

=m

4π2

T12

(R+h1)　　   
地球表面的物體受到的重力等于萬有引力m0g=G

Mm0

R2

由以上二式解得：T₁=

2π

R

(R+h1)3 g

（2）設(shè)A為“天鏈一號”衛(wèi)星，過A作地球的切線AB和AC，則∠COB所對應(yīng)的圓弧（大）即為測控范圍．由O作垂線OE、OD如圖所示，則由幾何知識有：
cosα=

R

R+h1

   即：α=arccos

R

R+h1

       
cosβ=

R

R+h2

即：β=arccos

R

R+h2

 　　　
所以∠COB=2（α+β）=2（arccos

R

R+h1

+arccos

R

R+h2

）　　　
所以測控時間為  t=

∠COB

2π

T1
解得t=

2

R

(R+h1)3 g

（arccos

R

R+h1

+arccos

R

R+h2

）
答：（1）該“資源衛(wèi)星”繞地球運行的周期為

2π

R

(R+h1)3 g

；
（2）在“資源衛(wèi)星”運行一個周期的時間內(nèi)“天鏈一號”衛(wèi)星對它測控的時間為

2π

R

(R+h1)3 g

（arccos

R

R+h1

+arccos

R

R+h2

）．

點評：本題關(guān)鍵是能夠畫出“天鏈一號”衛(wèi)星與“資源衛(wèi)星”的空間關(guān)系圖型，根據(jù)空間的位置關(guān)系結(jié)合幾何知識求解測控時間，正確作圖是解題關(guān)鍵．