Question

7．如圖所示，三邊長(zhǎng)均為L(zhǎng)=0.6m的光滑U形導(dǎo)軌Ⅰ固定放置，與水平面成60°角；另一足夠長(zhǎng)的光滑U形導(dǎo)軌Ⅱ固定放置在比導(dǎo)軌Ⅰ高的水平面內(nèi)，導(dǎo)軌Ⅱ內(nèi)始終存在著水平向右作勻加速運(yùn)動(dòng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B'=1.0T，方向豎直向上，質(zhì)量為m=0.1kg，阻值為R=2.0Ω的導(dǎo)體棒ab垂直導(dǎo)軌放置在導(dǎo)軌Ⅰ的開(kāi)口處（有兩柱擋著ab），現(xiàn)突然在導(dǎo)軌Ⅰ內(nèi)加一垂直于導(dǎo)軌Ⅰ平面向上的、以B=B₀-10t變化的磁場(chǎng)，經(jīng)0.1s后，ab棒離開(kāi)導(dǎo)軌Ⅰ斜向上飛出（在該0.1s內(nèi)，導(dǎo)體棒ab所受的安培力大于其重力沿導(dǎo)軌Ⅰ所在平面的分力），恰好能到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)落在導(dǎo)軌Ⅱ的開(kāi)口a'b'處，此后，ab棒及勻強(qiáng)磁場(chǎng)B'運(yùn)動(dòng)的v-t圖象分別為圖乙中的平行線①②．若ab棒始終與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)軌的電阻和空氣阻力均不計(jì)．g取10m/s²，求：

（1）ab棒飛起的高度h；
（2）磁場(chǎng)B的初始值B₀；
（3）磁場(chǎng)B′向右運(yùn)動(dòng)的加速度a．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象得出ab棒落在導(dǎo)軌Ⅱ的瞬時(shí)速度，根據(jù)平行四邊形定則求出ab棒剛飛起時(shí)的速度大�。�根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出ab飛起的高度．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求出電路中的電流，根據(jù)動(dòng)量定理求出磁場(chǎng)B的初始值．
（3）ab棒在導(dǎo)軌Ⅱ內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E'=B'L（v₂-v₁），根據(jù)速度之差，結(jié)合牛頓第二定律求出ab棒的加速度，由圖（乙）知，磁場(chǎng)B'的加速度與棒的加速度相同．

解答 解：（1）由圖（乙）知，ab棒落到導(dǎo)軌Ⅱ的瞬時(shí)速度v₁=1m/s，
由運(yùn)動(dòng)的合成可知，ab棒剛飛起時(shí)的速度為${v}_{0}=\frac{{v}_{1}}{cos60°}=\frac{1}{\frac{1}{2}}m/s=2m/s$，
由機(jī)械能守恒有$mgh=\frac{1}{2}m{v_0}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$，
解得$h=\frac{{{v}_{0}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}{2g}=\frac{4-1}{20}m=0.15m$．
（2）由B=B₀-10t知，$\frac{△B}{△t}=10T/s$，
則電動(dòng)勢(shì)$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{△B}{△t}{L^2}=3.6V$，
根據(jù)歐姆定律得$I=\frac{E}{R}=\frac{3.6}{2}A=1.8A$．
經(jīng)△t=0.1s，B=（B₀-1）T，
由動(dòng)量定理有{$\frac{1}{2}$[B₀+（B₀-1）]IL-mgsin60°}△t=mv₀-0，
代入數(shù)據(jù)解得B₀≈3.15T．
（3）ab棒在導(dǎo)軌Ⅱ內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E'=B'L（v₂-v₁），
對(duì)ab棒，由牛頓第二定律$\frac{{B{'^2}{L^2}（{v_2}-{v_1}）}}{R}=ma$，
由圖（乙）知，v₂-v₁=1m/s，
代入數(shù)據(jù)解得a=1.8m/s²．
由圖（乙）知，磁場(chǎng)B'的加速度與棒的加速度相同，可知磁場(chǎng)B'的加速度也為1.8m/s²．
答：（1）ab棒飛起的高度h為0.15m；
（2）磁場(chǎng)B的初始值為3.15T；
（3）磁場(chǎng)B′向右運(yùn)動(dòng)的加速度a為1.8m/s²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電磁感應(yīng)與動(dòng)力學(xué)和能量的綜合，涉及到機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量定理、牛頓第二定律，在第三問(wèn)中，注意求解ab棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)時(shí)，要找出ab棒相對(duì)磁場(chǎng)的速度．