Question

（2011?浙江一模）如圖，直線MN上方有平行于紙面且與MN成45°的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；MN下方為方向垂直于紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小未知．今從MN上的O點(diǎn)向磁場(chǎng)中射入一個(gè)速度大小為v、方向與MN成45°角的帶正電粒子，該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑為R．若該粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后第三次經(jīng)過(guò)直線MN后又恰好通過(guò)O點(diǎn)．不計(jì)粒子的重力．求：
（1）粒子第三次經(jīng)過(guò)直線MN時(shí)的位置；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；
（3）粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再次回到O點(diǎn)所需的時(shí)間．

Answer 1

分析：粒子在磁場(chǎng)中受洛倫茲力作用下做一段圓弧后，進(jìn)入電場(chǎng)中恰好做勻減速運(yùn)動(dòng)直到速度為零后又返回，以相同速率再次進(jìn)入磁場(chǎng)仍在洛倫茲力作用下又做一段圓弧后，再次進(jìn)入電場(chǎng)正好做類平拋運(yùn)動(dòng)．粒子在磁場(chǎng)中兩次運(yùn)動(dòng)剛好完成一個(gè)周期，則粒子第三次經(jīng)過(guò)直線MN時(shí)的位置，就是這兩段圓弧對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)的兩倍．
由粒子在電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)，垂直電場(chǎng)方向位移與速度關(guān)系；沿電場(chǎng)方向位移與時(shí)間關(guān)系，從而借助于電場(chǎng)強(qiáng)度來(lái)求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小．

解答：解：粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，先是一段半徑為R的

1

4

圓弧到a點(diǎn)，接著恰好逆電場(chǎng)線勻減速運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)速度為零再返回a點(diǎn)速度仍為v，再在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段

3

4

圓弧到c點(diǎn)，之后垂直電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)作類平拋運(yùn)動(dòng)．
（1）由圖可知：oa=2Rcos45°=

2

R  
因此oc=2

2

R 即距離O 點(diǎn)2

2

R     （1）
（2）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)垂直和平行電場(chǎng)方向的位移都為 
      s_⊥=s_∥=ocsin45°=2R    （2）
所以類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
      t1=

s⊥

v

=

2R

v

            （3）
又     s∥=

1

2

at

2 3

=

qE 2m t

2 3

      （4）
再有    Bqv=m

v2

R

   （5）
由③④⑤⑥⑦可得
         B=

E

v

              （6）
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為
        t2=

2πR

v

                   （7）
粒子在電場(chǎng)中的加速度為
           a=

qE

m

=

v2

R

         （8）
粒子在電場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間為
     t3=

2v

a

=

2R

v

            （9）
由（4）（9）（7）得粒子從出發(fā)到再到達(dá)O點(diǎn)所需時(shí)間
  t=t1+t2+t3=

2R

v

(2+π)

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中兩運(yùn)動(dòng)模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)與類平拋運(yùn)動(dòng)，及相關(guān)的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力．